8 
přímka q Q , která jest asymptotou hyperboly u. Tato asymptota jest prů¬ 
měrem hyperboly h, jak plyne z následující úvahy. 
Dejme bodům Q probíbati involuci (i) mající nekonečně vzdálený 
bod na t za pól, tedy body K a Z) 0 za body dvojné a C 0 C° za jeden pár 
elementů. Promětností dříve vytknutou mezi body Q a tečnami kružnice k 
přísluší involuci (i) involuce tečen na k a též involuce [i') jejích bodů 
dotyku. Bodu Q == K na h odpovídá prometne tečna o ~ E X E 2 kružnice k. 
Poněvadž K jest dvojným bodem v ( i ), jest O dvojným bodem v [i') a páru 
C 0 C° v (i) přísluší pár A 1 A 2 v {i') ; následkem toho jest kolmice v z O 
na t osou involuce (i') ; budou tedy tečny v bodech libovolného páru v (i') 
ke kružnici k se protínati na v. Budiž nyní ABC jeden trojúhelník opsaný k 
a vepsaný hyperbole h, jehož strana A B jest rovnoběžná k t. Páru bodu 
A B v {i) přísluší v [i') pár bodů, jejíchž tečny ke k se protnou na v. Ale 
bodům A, B přísluší na k promětně tečny B C, A C; leží tedy bod C na 
přímce v, z čehož jest zřejmo, že v promětnosti svazků [s] a [$] náleží 
paprsku v v svazku tomto paprsek k němu rovnoběžný ve svazku onom, 
takže přímka v == q 0 jest asymptotou hyperboly u. 
Poněvadž obě hyperboly u, h jsou opsány trojúhelníku A B C a mají 
též jeho bod výšek společný, proto diagonální trojúhelník úplného čtyř- 
rohu ABCH jest společným trojúhelníkem polárním obou hyperbol. 
Trojúhelník ten má za vrcholy paty výšek trojúhelníka A B C, a kružnice 
/ jemu opsaná jest geometrickým místem středů všech rovnoramenných 
hyperbol trojúhelníku ABC opsaných. Proto prochází / bodem O a protíná v 
ještě v bodě U , který jest středem hyperboly u. Kružnice / jest kružnicí 
devíti bodů vzhledem k trojúhelníku ABC , ona má s kružnicí k' středu K' 
jemu opsanou bod H za vnější střed podobnosti, její poloměr rovná se 
polovině poloměru kružnice k', a její střed F leží na přímce K H půlíc 
úsečku K' H. Následkem toho jest čtvrtý průsečík G kružnice Esu bod 
na u diametrálně protilehlý k bodu H, takže D G || v. Poněvadž D O = O H, 
proto leží body O, K, F na přímce rovnoběžné ke K' D. Tím seznáváme, 
že kružnice / se dotýká kružnice k v bodě O. 
Souhrn kružnic / pro veškeré trojúhelníky k opsané a h vepsané 
tvoří tedy svazek kružnic dotýkajících se ve středu hyperboly h. Avšak 
libovolné kružnici / středu F, náležející svazku tomu, příslušejí dva 
body D na h, které obdržíme, když bodem F 1 na K O, pro nějž KF 1 = 2 . F O 
vedeme rovnoběžku k tečně t. Rovnoběžka ta protne h ve dvou bodech 
D a D lt a rovnoběžky k OK body těmi vytínají z t body K', K /. Kružnice 
středu K' a poloměru K D seče hyperbolu h ve vrcholích jednoho troj¬ 
úhelníku opsaného k, označme jej ABC, kdežto kružnice středu K x ' 
a poloměru D Y seče h ve vrcholích druhého takového trojúhelníka 
A 1 B 1 C 1 , a tyto trojúhelníky jsou ony dva možné, jež mají kružnici / za 
společnou kružnici devíti bodů. Paty výšek H, H 1 pro tyto trojúhelníky 
ABC, A x B x C x leží na rovnoběžce k t protínající O K v bodě F 0 , pro 
nějž ~KF 0 = 2 . KF. 
VII 
