9 
7. Provedené úvahy o rovnoramenné hyperbole obsahují v sobě 
důkaz věty Feuerbachovy. 
Je-li totiž ABC libovolný trojúhelník a k jedna z kružnic jemu 
vnitř neb vně vepsaných středu K, dále k' kružnice středu K' trojúhel¬ 
níku opsaná, víme, že body A, B,C, K prochází rovnoramenná hyperbola h, 
jež se v K dotýká přímky K K'. Poněvadž trojúhelník A B C jest kružnici k 
opsán a hyperbole h vepsán, lze nekonečně mnoho trojúhelníků této 
vlastnosti sestrojiti. Budtež a v a 2 asymptoty této hyperboly a C°, C 0 
jejich body v nekonečnu. Tečny kružnice k rovnoběžné k a 2 nechť protnou h 
ještě v bodech A 0 , B 0 ; přímka A 0 B 0 se musí dotýkati kružnice k, poněvadž 
A q B 0 C 0 jest jedním ze zmíněných trojúhelníků. Vytkněme si dále svazek 
kružnic s k soustředných a vedme k ním tečny rovnoběžné s a 2 \ ty budou 
tvořiti involuci, jež seče h v involuci bodové, která má body K a C° za 
dvojné elementy a A^B Q za jeden pár. Jest tudíž průsečík A 1 přímky 
K K' s asymptotou a x pólem této involuce, a přímka A 0 B 0 jím prochází. 
Jelikož body A 0 , B 0 jsou průsečíky tečny A 0 B 0 ke kružnici k s jejími 
tečnami C 0 A 0 , C 0 B 0 k sobě rovnoběžnými, proto jest <£ A 0 K B 0 pravý, 
následkem čehož, jak jsme dříve podotkli (čl. 1.), jest přímka A 0 B Q kolmá 
k tečně KK! hyperboly h, pročež jest A t bodem dotyku přímky B 0 A 0 
s k. 7 toho soudíme, že body koncové A v A 2 průměru kružnice k ležícího 
na přímce K K ř náležejí asymptotám hyperboly h, a že tudíž střed O 
této hyperboly leží na k , což dává větu: 
,,Rovnoramenná hyperbola libovolnému trojúhelníku opsaná a pro¬ 
cházející středem kružnice jemu vnitř neb vně vepsané, má svůj stied 
na této kružnici/' 
Poněvadž kružnice k vepsaná trojúhelníku bud vmti neb vně jest 
s hyperbolou h v souvislosti, již jsme v předcházejícím článku uvažovali, 
dotýká se kružnice devíti bodů pro trojúhelník ABC kružnice k, a to 
v bodě 0 ; můžeme tedy vysloviti větu: 
,,Středy rovnoramenných hyperbol danému trojúhelníku opsaných 
a procházejících jednotlivými středy kružnic jemu vnitř a vně vepsaných 
jsou body dotyku těchto kružnic s kružnicí devíti bodů trojúhelníka 
daného." 
8 . K těmže výsledkům vede následující úvaha. 
Je-li dán trojúhelník A B C a kružnice k středu K jemu vnitř neb 
vně vepsaná, položíme opět rovnoramennou hyperbolu h body A, B, C, K. 
Body půlící strany všech trojúhelníků h vepsaných a k opsaných 
popisují křivku řádu čtvrtého & 4 . Neboť na libovolné přímce p vzniká 
(2, 2) značná příbuznost tím, že tečnám ke k z bodů na p přiřadíme prů¬ 
sečíky její s průměry hyperboly h k tečnám tem sdruženými a naopak 
průměrům hyperboly té z bodů na p vycházejícím přiřadíme průsečíky 
tečen ke k, jež jsou rovnoběžný k průměrfim sdruženým. Příbuznost ta 
dává čtyři koincidence, jež jsou body křivky & 4 . Z konstrukce této plyne, 
že body C°, C 0 v nekonečnu na h jsou body dvojnými křivky & 4 a bod O 
Vil. 
