10 
jest pro ni bodem vratu. Neboť k 4 jest též místem bodů půlících úsečky 
na tečnách kružnice k omezené asymptotami a v a 2 hyperboly h. Kdyby 
bod O ležel v ně kružnice k, pak by měla příslušná křivka k* v O bod 
dvojný, který při přechodu bodu O na k přechází v bod vratu. 
Jelikož jest k 4 křivkaracionálná, protíná ji svazek kuželoseček ma]ící O 
za jeden bod základní, kdežto ostatní body základní neleží na & 4 , v invo- 
luci bodové řádu šestého, stanovené dvěma skupinami, tedy dvěma kuželo¬ 
sečkami ve svazku. 
Vytkněme si jednu takovou zcela zvláštní involuci. 
Křivka & 4 , jak z její konstrukce patrno, se kružnice k ve společných 
bodech obou dotýká; má tedy s k mimo O ještě tři body k y a body 
k ním nekonečně blízké a', p r , y' společné. Vedemedi na př. v a tečnu 
kružnice k, seče ona h ve dvou bodech B', C', z nichž vedené další tečny 
ke k se protínají v bodě A' na h. Jelikož a jest na JA, jest B' cc = aC'- 
Bod výšek v trojúhelníku A' B' C leží na výšce A' cc procházející bodem K 
a na hyperbole h, splývá tudíž s bodem K, z čehož soudíme, že A' B ' C 
jest trojúhelník rovnostranný a k se dotýká stran A' B ', A' C v bodech 
y, p náležejících křivce & 4 . Pro trojúhelník ABC, jenž jest nekonečně 
blízký k A' B' C’ , dospíváme k bodům cc', y', p'. 
Jest tudíž k kružnicí Feuerbachovou pro trojúhelník A' B' C’ a troj¬ 
úhelník jemu nekonečně blízký k opsaný a h vepsaný. 
Průměru i x hyperbol} h směřujícímu k jednomu bodu kruhovému 
v nekonečnu j est sdružený průměr isotropická přímka i 2 směřující k druhému 
bodu kruhovému v nekonečnu. Tečny ke k rovnoběžné k i 2 splývají s pří¬ 
slušnou přímkou isotropickou j 2 procházející bodem K. Proto jest přímka 
tečnou ke v bodě (i r j 2 ) a přímka i 2 tečnou ke k 4 v bodě (i 2 /J, zna- 
číme-li ]\ druhou přímku isotropickou bodem K vedenou. Přímky j v j 2 pro¬ 
tínají tedy piímku o v bodech E v E 2 tr ojúhelníha K E 1 E 2 , jenž jest k opsán 
a h vepsán. Jsou tudíž i v i 2 tečnami křivky & 4 , jejichž body dotyku J v «/ 2 
leží na přímce rovnoběžné s přímkou o a půlící její vzdálenost od bodu K. 
Jsou proto přímky i v i 2 Feuerbachovou kružnicí pro trojúhelník K E x E 2 
a trojúhelník jemu nekonečně blízký, jenž jest k opsán á h vepsán. Jest 
tedy dvojice i x i 2 kružnicí Feuerbachovou rovněž pro dva v mezích splý¬ 
vající trojúhelníky ABC spojujíc středy stran těchto trojúhelníků. 
Kružnice k a (i x i 2 ) stanoví svazek kružnic dotýkajících se v bodě O. 
Vytínají tedy kružnice svazku toho z & 4 involuci řádu šestého J 6 ; každá 
z nich vy tíná jednu skupinu bodovou involuce této. Trojice bodů a, /3, y 
a trojice bodů O, (i x j 2 ), (i 2 stanoví na k* zároveň involuci kubickou J 3 . 
Jest patrno, že každá skupina v J 6 se rozkládá ve dvě skupiny involuce J 3 . 
Neboť kdyby rovnice stupně třetího P = 0 měla za kořeny parametry 
bodů cc, p, y a rovnice stupně třetího Q = 0 měla za kořeny parametry 
bodů O (ij j 2 ), (i 2 /J, pak lze libovolnou skupinu v J 6 výjádřiti rovnicí 
p2_lQ2 ==0> 
VII. 
