4 
t 3 r 2 ^ __ 9 r 3 
~ Sr*— 3rr i +Ir-? ’ ^ — 9 r 2 - lir r 2 + 4 r/ ' 
Můžeme snadno též vyvoditi rovnici kuželosečky u v soustavě 
(P . * y). 
Poněvadž má u v počátku P poloměr křivosti r, lze její rovnici dáti 
tvar 
2ry = x 2 + 2Axy + By 2 . 
Jelikož z této rovnice plynou pro souřadnice středu rovnice 
I + A v] = o , + = 
obdržíme tu jednoduchým výpočtem A a B, takže rovnice křivky u jest 
(9 r 2 — 3 rr 2 + 4 r x 2 ) y 2 + (3 r x — r x y) 2 — 18 r 3 y = o . 
Je-li naopak kuželosečka u daná, poskytuje uvedená konstrukce 
k bodu P příslušné body K v K 2 . 
Aby kuželosečka u byla rovnoramennou hyperbolou, musí součet 
součinitelů při x 2 a y 2 v této rovnici býti roven nulle. To dává podmínku 
z níž obdržíme mimo to následující zvláštní konstrukci třetího středu 
křivosti rovnoramenné hyperboly u příslušného danému bodu P na ní. 
Protneme rovnoběžky bodem a K x k normále P K kolmicí v O 
k přímce O K x ' vztýčenou. Budtež L a Q 0 body průsečné. 
Kružnice středu L , která prochází bodem Q 0 protne K x Q 0) ještě 
v bodě Q. Pak jest K ± K 2 = 3 K x Q. 
O správnosti této konstrukce se snadno přesvědčíme, použijeme-li 
vlastnosti, že průměr OL hyperboly rovnoramenné u jest sdružený k nor¬ 
mále P K a že normála tato vytíná z u tětivu, jejíž absolutní délka se 
rovná 2 r. 
4. Uveďme ještě jednoduché zevšeobecnění evoluty křivky rovinné 
takové, že nahradíme body kruhové v nekonečnu v M libovolnými dvěma 
body J lf J 2 roviny M. Je-li t tečna křivky p v bodě P, pak odpovídá normále 
v úvahách předcházejících přímka P K harmonicky od t oddělená dvojicí 
bodovou J X J 2 . Nazveme nyní přímku P K quasinormálou křivky p pro 
bod P, a křivku k, již P K obaluje, když P popisuje křivku p t nazveme 
první quasievolutou křivky p. Označme K bod, v němž se P K křivky k 
dotýká. Quasinormály K K ± křivky k obalují křivku k v která nechť se 
dotýká v bodě K x přímky K K v Obdobně odveďme křivku k 2 , již obalují 
quasinormály K x K 2 křivky k x a budiž K 2 bod dotyku přímky K x K 2 . 
Známe-li bod K x sestrojíme na přímce K bod K x ' tak, 
aby (K U K x Ký) — — 3, když znamená U průsečík přímky K K x 
XVIII. 
