2 
f (*) = a o + a i z + #2 + • • • 2 , < #1 .(1 a) 
g (*) = \ + b i z + h & + • • • | Z\ < R 2 .(16) 
Zvolme si nyní dvě komplexní konstanty a a y hovící nerovninám 
«| < 1, > <Ri .(2) 
a utvořme analytickou funkci komplexní proměnné x, definovanou řadou 
00 
F (x) = 2 f (y a”) b„ .(3) 
» = 0 
Dosadíme-li do tohoto rozvoje místo / {z) řadu (1 a), obdržíme řadu 
dvojnou 
co 00 
F (x) = Z Z b n x n a k u nk y n .(4) 
» = 0 A = 0 
(sčítá se napřed podle k), o níž dokážeme, že konverguje absolutně pokud 
| %\ < R* 
K důkazu utvořme řadu 
00 
Z \ a k z k \ < M, 
k = 0 
která pro z\ < y\< R t jistě splňuje napsanou nerovninu, v níž M jest 
konstanta na z nezávislá. Protože pak podle (2) jest 
| y a n ' < | y !, 
bude i 
00 
Z | a k a nk y k | < M .(5) 
k = 0 
pro libovolný index n. 
Ježto také řada 
Z M. | b n x n 
n =o 
konverguje pokud \x\ < R 2 , bude a fortiori podle (5) konvergovat! i 
co 00 
Z \b n x n . Z \ a k a nk y k \ s. e. d. 
»=»o &=o 
Jest tedy dovoleno v dvojné řadě (4) zaměniti pořádek sčítání, aniž 
se změní hodnota součtu. Tak obdržíme vzhledem k (1) 
F (*) = 2 g (x a h ) a„ y*.(3,) 
A = 0 
Srovnáním s (3) dostáváme základní vzorec transformační 
oo oo 
Z f (y a n ) b n x n = Z g (x a n ) a n y n ,. (A) 
w = 0 »=*0 
XIX. 
