3 
který byl odvozen za podmínek 
\x\< R 2> \ y | < R v | a < 1. 
Význam vzorce tohoto pro další vyšetřování spočívá v tom, že pravá 
strana může za jistých podmínek konvergovati v oboru širším než levá 
strana. Vzorce použijeme v tomto pojednání vždy tak, že a a y budeme 
považovati za konstanty, # za komplexní proměnnou. 
2. Druhé omezení, které si pro tentokráte ukládáme, spočívá v tom, 
že zvolíme za g (z) funkci bud lomenou racionálnou nebo meromorfnú 
Její póly seřazené podle velikosti absolutních hodnot 
* * * 
nechť jsou všechny od nully různé; pokládejme je za známé a rovněž 
tak některý z arithm. výrazů, které definují g (z) v celé rovině jako na př. 
Mitt ag-Lefflerův rozvoj v parciální zlomky. Funkci / (z) při tom 
nijak v obecnosti neomezujeme. 
Za těchto předpokladů dokážeme o analytické funkci F (x) defino¬ 
vané řadou (3) tyto čtyři věty: 
I. Rada (3) má týž poloměr konvergence jako řada pro g (z). 
II. Jestliže |«| < 1, představuje pravá strana rovnice (A) analy¬ 
tické pokračování funkce F (x) platné v celé rovině s výjimkou spo¬ 
četné množiny isolovaných bodů (4k) 
x k a~ l , k, 1= 0, 1, 2, 3, . . . 
Tyto body jsou póly funkce F (x). 
III. Jestliže « = e*P a p jest číslo souměřitelné s «, platí totéž 
co v případě II. 
IV. Jestliže a = e*P a p jest vhodně volené číslo nesouměřitelné 
s ar, jest konvergenční kružnice řady (3) její přirozenou hranicí ve 
smyslu Weierstrassově. Avšak ve smyslu Borelově při¬ 
pouští funkce F {%) pokračování v celé rovině, které jest sprostřed- 
kováno pravou stranou rovnice (^4); při tom jsou singularity na¬ 
hromaděny na kružnicích, které mají střed v počátku a procházejí 
body x Q x 1 x 2 . . . 
3. Důkaz prvých tří vět jest tak jednoduchý, že zajisté postačí 
jeho stručné naznačení. 
Funkce g (x a n ) jest omezená v každém konečném oboru K roviny x 9 
který neobsahuje ani uvnitř ani na své hranici žádný z bodů množiny 
Jest tedy pro všechna x oboru K 
g (x a n ) < N t 
kdež N jest konečná konstanta. Z toho plyne stejnoměrná konvergence 
řady (3 x ) v oboru K\ řada tedy definuje funkci proměnné x analytickou 
v tomto oboru. 
1* 
XIX. 
