4 
Protože pak každá kružnice se středem v počátku a s poloměrem 
menším než R 2 jest podle (1 6 ) oborem typu K t kdežto kružnice s polo¬ 
měrem R 2 jím není, jest konvergenční poloměr řady (3J a tedy i řady (3) 
nejméně roven číslu R 2 . 
Věta II. jest pouhým důsledkem stejnoměrné konvergence řady (3J 
a té okolnosti, že body množiny (W) se nikde v konečnu nehromadí, 
jestliže jaj < 1. To pak má ten následek, že singularity funkce F (x) 
jsou identické se singularitami jednotlivých sčítanců v rozvoji (3^ spe¬ 
cielně se singularitami prvého členu g ( x ). Jest tedy pro a \ < 1 poloměr 
konvergence řady (3) skutečně roven R 2 . 
Jestliže pak a = kdež P = a p t q jsou celistvá nesou¬ 
dělná čísla, bude mezi čísly a n jen q od seberůzných «, « 2 , a 3 ,. . . a* -1 , 1. 
Rovnice (3 X ) dostane tvar 
F (%) = 27 A k g (x a k ), 
h = 0 
kdež A k jsou konstanty závislé na y. Tím jest dokázána věta III. 
Důkaz věty IV. provedeme podrobněji. Základní jeho myšlenky 
shodují se v podstatě s důkazem, který podal Borel pro funkci uvedenou 
na první straně tohoto článku, opíraje se o práci Gour sat-ovu. 2 ) 
Podle předpokladů o funkci g (z) leží na konvergenční kružnici 
řady (1*) jen konečný počet pólů. Nechť jsou to 
x k = R 2 . e i( Pk f k = 0, 1, 2, . . . s; <p h < 2it; 
jejich řády označme v 0f v lt . . . v s . Lze tedy psáti g (z) ve tvaru 
g 0 = * 
Pn (Z) 
+ gl (*)■ 
( 6 ) 
l0 (; z-x n ) v » 
Při tom jest P n (z) polynom stupně nižšího než v n a g x (z) funkce 
analytická a tedy omezená uvnitř a na obvodě kružnice 
\z\<R 3 >R 2 . 
Rovněž všechna P n (z) jsou v tomto oboru omezena. Analytický výraz 
těchto vět jest vystižen v nerovninách 
Pn(z)\<P, |giW|<5, 
kdež P a 5 jsou konstanty nezávislé na z a n. 
Zvolme si nyní číslo p = 2 % y nesouměřitelné s číslem tc a se všemi 
čísly spočetné množiny 3 ) 
2 % k ± ((p p — <p q ), p, q = 0, L • • • s. 
k = 0, 1, 2, . . . 
2 ) E. Borel, 1. c. p. 57 — 70. 
M. Goursat, Bulletin des sc. math. t. XI. et XVII. 
3 ) To jest vždy možno, neboť množina irracionálných čísel jest nespočetná, 
kdežto všechna čísla souměřitelná se shora uvedenými tvoří množinu spočetnou. 
XIX. 
