8 
Doslova táž věta platí o každé řadě vzniklé opětovaným derivováním 
řady (3J člen za členem. Protože pak R z > R 2) vidíme, že řada (3J před¬ 
stavuje Borelovo přímkové pokračování funkce F (x) dané potenční řadou (3) 
za její přirozenou hranici. 
Tím jest dokázána věta IV. pro zvláštní formu irracionality y. Avšak 
důkaz dá se rozšířiti i na jiné formy této irracionality týmž postupem, 
jehož užil B or el v citovaných Le 9 ons p. 66 (Remarque). Proto upouštím 
od podrobného provedení. 
5. Uvedu nej jednodušší řady uvažovaného typu. Volím 
1 . 1 a — V a 2 
i (*) = , . S ( z ) = ! —r > Q = 
V- 
1 — Q Z ’ ° v ' 1 — Z 
Transformační vzorec (A) dává 
% n 
a>b. 
oo 
27 T 
« =0 ± 
q e in P y 
oo 
= Z 
Q n y n 
n -0 1 — e in P x .^ 
Levá strana jest potenční řada konvergující v kruhu \x\ < 1 a mající 
jej za přirozenou hranici, kdežto pravá strana jest výraz typu Borelova, 
jehož ,,poly“ hromadí se na jednotkové kružnici. 
Kladu-li y = 1 a pokládám-li na okamžik x , q za čísla reálná, ob¬ 
držím separací částí reálných a imaginárných řadu ještě jednodušší 
x 7 
Vat-b* 2- , 
n =o a — b cos n p 
.z ( - \ y - —— 
6-1- V a 2 - b 2 ' 1 — 2* 
x cos n p 
— 2 x cos n p + x 2 
• (io) 
b + V a 2 — fr 
Rada tato má tytéž vlastnosti jako (9). Za p mohu voliti na př. úhel 
v Pythagorejském trojúhelníku daný vztahem 
p 2 -f- q 2 === r 2 , cos p = 
<1 
kdež p < q <r jsou celistvá nesoudělná čísla a mohu tedy koeficienty 
řady (10) učiniti racionálnými, zvolím-li také a, b racionálně. 4 ) 
Jiný jednoduchý příklad vznikne, kladu-li 
g (z) — z cotg z = 1 — 
2 2 " By 
00 
ZA 
2 n 
■^2 n 
(2 ri )\ 
Tak dostanu řadu 
F(x) = Z 
L 2 n 
i2 n 
( 11 ) 
,i a —b cos2n p ’ 
která představuje funkci schopnou Borelova pokračování v celé rovině. 
,,Poly“ se hromadí při tom na kružnicích se středem v počátku a o polo¬ 
měrech 7t, 2%, 3 %, . . . 
O některých dalších příkladech pojednám snad jindy. 
o 
4 ) Irracionalitu podílu — dokáži jinde. 
XIX. 
