3 
pro všechna celistvá kladná x. Nechrne x vzrůstat do nekonečna přirozenou 
řadou Číselnou máme, že totéž platí i o rovnici 
/ + i x jL = o, t = t 0 . 
3. Rovnice / (t) = a 0 + a, t + . . . + a m = 0 
mějž jen reálné kořeny vesměs různé; pak reálné vesměs různé kořeny 
má rovnice f (ť) — 0 i rovnice 
/ W + % f (t) — 0 
/ (/) +a 1 xf' (t) + cc 2 x [/' (í) + «! ^ f" (/)] = 
/ (í) “j - (cíj cí.y) x f ( t ) -f- ťío ■^' 2 ť if) == d, atd.; 
tak dospějeme k větě Waringově, kterou lze formulovati takto: je-li 
f (2) ee= a 0 -f a x t + . . . + a m t m = 0 rovnice jen o reálných nullových 
místech vesměs různých a má-li rovnice <p = b 0 + b x t x + b. 2 ť 2 x 2 + . . . -j- 
T - b» t n x n = 0 jen reálná nullová místa, má jen reálná a vesměs různá 
nullová místa rovnice v t 
F (t x x) = b Q f{f) + b 1 xf(f) + .... + h n x n /<*> t = 0. 
Značme tuto rovnici symbolicky 
9 ( D) f W = 0. 
Tažme se, kdy tato rovnice má jen reálné kořeny dle x. 
Má-li / (ť) = 0 dle č jen reálné kořeny, má je i rovnice dle y 
f (y + ť) = / [t) —jf f' (t) + f" (t) + • • • = 0 . 
Schur odvodil tuto větu: jsou-li c v _ 1} c v , c v+ 1 tři za sebou jdoucí 
koefficienty rovnice o jen reálných kořenech, platí 
v c v 2 — {v -f 1) c v+í c v _i > 0; 
tedy v poslední rovnici jest 
» U {v) (t)] 2 _ (v + 1) f^(t) p-V (i t ) 
v\ 1 /! (v - 1)! (i/ + 1)! 
čili 
U (v) (t)} 2 — í (v+1) {t) f {v ~ l) (t)] >0. 
Má-li rovnice cp (D) f (t) = 0 míti dle x jen reálné kořeny, stačí dle 
věty de Gua 
ř* 2 / ( *W >*xn/ ( * +1) (Q.bn-i/*- 1 (Q 
kterážto nerovnina bude jistě splněna, když a i jsou téhož znamení, 
což nastane jistě tenkráte, když cp (č) má kořeny téhož znamení. 
XX. 
1 
