F (x) — j* / ( t) (p (x + t) dt = O 
a 
nemá než kořeny komplexní — z týchž důvodů jako prve. Jest však 
t t 2 
<p (x + ť) — <jp (x) + -yj </>' (a;) + -gj- (#) + ...■ 
takže lze psáti 
• /? č 0 
i 7 (x) — cp (x) H f (ť) dt + cp' {%) j t f (ť) dt + . . . + qp 2 * (x) ^ t 2 * f (t) dt — 0 . 
a a a 
Položme*) m — 0, n = oo, / (ť) ~ e— at , a > 0 a máme, že 
cp {%) -f- a (p' (a;) -f* qp r/ (a;) -f- . . . + a 2n cp( 2H) (x) = 0 
nemá než kořenů komplexních. Je-li cp [%) = a; 2 ” -f (2x)!s, s > 0, a = 1, 
obdržíme větu podobnou větě Hermiteově: 
X X 2 X 2 * 
s 1 i; ' ir + ■ • • imt 
= 0 
nemá pro s > 0 reálných kořenů. 
__y 
Je-li f (t) ~ e í , a = — oo, & = oo, obdržíme rovnici 
(p (x) 
<p"(x) , <p"(x) 
2 ! 
4! 
+ 
(p 
i(2 x) 
(x) 
*) 
== 0. 
Budiž / (č) = y y, a = 0, & = 1; tak obdržíme rovnici 
w (x) + yw + y"<*> + j _— = o. 
T v / I 2?+i n 3? + i ^ ~ (2 X + l)í +i 
Jiná kategorie rovnic majících jen komplexní kořeny, z věty, jíž jsme 
použili v odstavci 3. Má-li / (x) jen reálné různé kořeny, jest 
/<*> (a ;) 2 - f v ~ x (x) . f v+1 (x) > 0 
pro všechna x\ to jest rovnice 
/( r ) (a ;) 2 - Z^- 1 ) (*) /<* +1 > (*) = 0 
má jen kořeny komplexní. 
*) Substitucí er~ 1 = x přejdeme k integrálům o konečných mezích. 
XX. 
