9 
od 0 do n. Tedy pro celou křivku budou existovat obecně 4 dvojné body; 
to znamená — ježto křivka čtvrtého stupně může mít i nejvýše 3 dvojné 
body —, že v případě, kdy bude mí ti C dvojný bod, bude se rozpadat 
na dvě kuželosečky. 
cotg <3p 4 má však v případě dvojných bodů vyhov ovát i dvěma rovnicím: 
(46^) a {50). Proto musí být: 
^23 2 (^11 ^22) 2 ^12 ^23 ^31 T - ^12 2 (^33 ^22) — 0 
nebo ve tvaru determinantu psáno: 
U3 
> 
0 , 
^23 > 
a i3 
^23 
^33 ^22 
(51) 
(51') 
V theorii ploch druhého stupně vystupuje podobný determinant, proto 
se jím nebudu podrobněji zabývat i, uvedu jen výsledky. 
Rovnice tato je splněna pro tři hodnoty neznámé a 22 a sice: 
1. 
2 . 
3. 
a 22 = a 2 , z čehož plyne q x =\ f q 2 = q 3 = 0 
cl 22 — b 2 , z čehož plyne a) q x = q 3 — 0, q 2 = 1 
q 1 2 b 2 — c 2 
b) 
?3‘ 
a‘ 
- b‘ 
l 22 
c 2 , z čehož plyne q t = q 2 = 0, q 3 = 1 
(52,) 
(52*,) 
(52 26 ) 
(52 3 ) 
Tedy jen když jsou splněny rovnice {52), má křivka C dvojné body. 
Odvodme nyní Kirchhoffovu rovnici. 
Přímka kolmá k ose X' protíná C obecně ve 4 bodech. Je-li rovnice 
této přímky 
n siny = -i- , . (53) 
a dosadíme-li za n — —-- do rovnice C = 0, pak obdržíme Kirch- 
h sm (p 
hoffovu rovnici pro úhly cp příslušné oněm průsečíkům. 
Neznámou cotg (p značím u, A ik jsou subdeterminanty příslušné 
k elementu a ik v determ. | a ik |, a k vůli stručnosti píši a n + a 22 — a 33 , 
í? 33 -j- cl 22 = 0fj 4 . 
Pak ona rovnice zní: 
^33 ui + 2 A 1Z u z + (^4 U + A 33 — a 33 h 2 ) u 2 + 2 (^4 13 + ^ 2 ) u + 
+ /ř 4 — a u h 2 + A n = 0. . (54) 
V případě totální leflexe má tato rovnice 1 kořen dvojnásobný. 
Tyto kořeny dvojnásobné hoví rovnici šestého stupně v u, kterou obdržíme 
eliminací h z rovnice Kirchhoffovy a její derivace dle u. Jak dříve uká¬ 
záno, ve zvláštním případě, kdy bude mít i C dvojné body, bude ona 
resultanta splněna též pro souřadnice dvojných bodů a dá se tedy její 
stupeň snížiti. O fysikálním významu rovnice Kirchhoffovy nepokládám 
XLII. 
