9 
Doplníme-li a 3 p 1 co na obdélník, ku spojnici n x p 1 spustíme z bodu p x f 
kolmici, a průsečík t x ' této kolmice se spojnicí a 3 n x promítneme na tečnu 
bodu a 3 do t 3 ; spojnice t 3 p 3 jest hledaná tečna. 
Tečna a normála nové kvintiky jakož i osa křivosti kosoúhlé sférické 
kardioidy se sestrojí ovšem jako při pravoúhlé. 
Plocha cyklik. 
Nyní přistupme k řešení hlavní otázky, které místo naplňují veškeré 
sférické kardioidy; k tomu účeli jest eliminovati z rovnic (13), (14), (15) 
úhly cp a ty. Abychom obdrželi eliminační rovnici v nejjednoduuší formě, 
posuneme počátek souřadnic z bodu a do středu 5 základní kružnice; pak 
obdržíme rovnice: 
(24) # — r = r (1 — : cos cp) cos cp (1 — cos ty) , 
(25) y = r (1 — cos cp) sin cp (1 — cos ty) , 
(26) z = r (1 — cos cp) sin ty . 
Eliminace vyžaduje poněkud delší počet; napíšeme tedy ihned ko¬ 
nečný výsledek: 
(27) (x 2 + y 2 + _ r 2 ) 2 = 4 r 2 [{% — r) 2 + y 2 ]. 
Zavedením homogenních souřadnic seznáme bezprostředně, že imagi- 
nárný kruh v nekonečnu jest dvojnou čarou plochy ; plocha jest tedy zvláštním 
případem K u m m e r -ovy plochy. 
Darboux se zabýval ve čtvrtém oddílu výše uvedeného spisu 
takovými plochami čtvrtého stupně, jež obsahují pomyslný kruh v ne¬ 
konečnu jako dvojnou čáru a nazval tyto plochy cyklidami *) a udal též 
jako rovnici těchto ploch: **) 
(28) (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 + 4d^ 2 + 4Ty 2 + 4i' , ^ 2 + 8C^ + 8C'y + 
+ 8C"* + 4D = 0. 
Dáme-li naší rovnici (27) tvar 
(29) (x 2 + y 2 + * 2 ) 2 — 6r 2 x 2 —6r 2 y 2 —2r 2 z 2 + 8r*x — Sr* = 0, 
seznáme, že naše plocha jest onen zvláštní případ D a r b o u x-ových 
cyklid, pro který jsou v platnosti následující zvláštní hodnoty: 
(30) A= — -%-r 2 , A' = — ^-r 2 , A" = — 
Zi li L 
C = r>, C‘ = 0 , C" = 0 , D = r*. 
Poněvadž celá plocha může býti vytvořena kotálením kružnice po 
shodné kružnici, náleží plocha ke skupině cyklid-kotálnic a nazveme ji 
krátce prostou plochou srdcovou, analogicky jako v rovině kardioidu zoveme 
*) Darboux: 1. c. p. 107 atd. 
**) Darboux: 1. c. p. 114. Srovnej též: Koenigs: 1. c. p. 162—207. 
XXIV. 
