ROČNÍK XXII. 
TŘÍDA II. 
ČÍSLO 25. 
O jistém minimu při osmistěnu. 
Napsal J. Sobotka. 
(S dvěma obrazci v textu.) 
(Předloženo dne 28. dubna 1913.) 
I. 
1. Základem pro další budiž nám věta: 
Ze všech trojúhelníků, vepsaných danému trojúhelníku osiroúhlému, má 
trojúhelník určený patami výsek nejmenší obvod. 
Jednoduchý a pěkný důkaz této věty podal H. A. Schwarz (Ge- 
samm. Abhandlgn. Bd. II. S. 349). 
Opírajíce se o důkaz ten vyvodíme ku větě uvedené analogon pro 
prostor, vytkneme-li si tuto úlohu: 
Osmistěn, omezený shodnými trojúhelníky, protnouti jest mezi dvěma 
rovnoběžnými stěnami v takovém šestiúhelníku rovinném, aby jeho obvod byl 
minimální, a mezi všemi šestiúhelníky podmínku tu splňujícími určiti takový, 
jenž má maximální obsah. 
Poznamenáváme nejprv, že trojúhelníky omezující osmistěn, vždy 
jsou ostroúhelnými. 
Budiž 0 střed osmistěnu; A, C; B, D\ E, F budtež dvojice jeho 
protilehlých vrcholů, jejichž spojnice tvoří pravoúhlou soustavu osovou, 
při čemž A O = 0 C, B O = O D, E 0 = O F. Rovinný řez vedme na př. 
mezi stěnami ADE, BCF. Plást našeho osmistěnu, tvořený ostatními 
stěnami, rozviňme do roviny, zde do roviny A B C D, již považujeme za 
průmětnu, a to tak, že (obr. 1.) stěny A B E, BC E, C D E, C D F, 
B A F, A B F dospívají do poloh 
A B E 0 , B C 0 E 0 , C q DqE 0 , CqDqFq, D 0 A 0 F 0 , A 0 B 0 F 0 (1). 
V této úpravě každý z posledních pěti trojúhelníků řady (1) muže 
býti odvozen překlopením trojúhelníka předcházejícího. 
Rozpravy: Roč. XXII. Tř. II. Čís. 25. 
XXV. 
