3 
2. Zvolíme-li zejména G v patě kolmice bodem E ku A B vedené, jest 
dle Schwarze úsečka G G 0 rovna dvojnásobnému obvodu trojúhelníka z pat 
výšek libovolné stěny osmistěnu. Naše zobrazení dává také ihned velikost u 
obvodu tohoto trojúhelníka pat výšek. Neboť z trojúhelníka A A 0 C 0 plyne, 
značí-li a výšku v trojúhelníku A B E, jdoucí vrcholem A, a je-li a úhel 
při A, tedy <^C A C 0 A 0 = 2 a, že žádaný obvod jest 
u = 2 a sin a, 
takže tedy dvojnásobný součin z výšky trojúhelníka ostroúhlého a ze sinu 
úhlu při vrcholu, jímž výška prochází, rovná se obvodu trojúhelníka 
z pat výšek, z čehož plyne, že obsah trojúhelníka ostroúhelného rovná se 
obsahu jiného trojúhelníka, který má poloměr opsané kružnice za základnu 
a obvod trojúhelníka z pat výšek za výšku. 
Přihlédněme blíže k šestiúhelníku G III 77 IIIIV, který vzniká 
navinutím úsečky G G 0 , při čemž body I, II, 77, III, IV leží resp. na hra¬ 
nách E B, EC, CD, DF, A F, jsouce v rozvinutí vyznačeny body 7 0 , 
. . . IV 0 . Přímka G I spojuje paty kolmic z bodů E, A na A B resp. E B; 
protínají tedy roviny O A I, 0 G E roviny O B E resp. O B A ve přímkách 
O 1,0 G, které jsou kolmý na B E resp. A B. Obdobně jsou II, H, III, IV 
patami kolmic spuštěných s bodu O na hrany C E, C D, D F, A F. 
Přímky G H, I III, II IV leží v jedné rovině. Neboť výšky na př. 
v trojúhelníku B EC protínají se v bodě, který oddělen jest harmonicky 
stranami E B,EC od průsečíku K přímek III, B C. Orthogonální průmět 
výšky vycházející z bodu E jest kolmý ku B C a jest harmonicky oddělen 
od 0 K stranami O B,0 C; poněvadž pak O B 0 C, splývá O K s přímkou 
GH . Leží tedy body G, H, I, II v jedné rovině. 
Z toho plyne, že šestiúhelník G III H IIIIV leží v rovině, kterou 
označme L. Všecky roviny rovnoběžné ku L, které protínají všech šest 
stěn našeho pláště, obsahují šestiúhelníky, které mají s G III H IIIIV 
stejný obvod. 
Povrch osmistěnu jest dle pfedchozícho roven obdélníku, který má obvod 
takového šestiúhelníka za základnu a průměr kruhu stene opsaného za výsku. 
3. Promítejme orthogonálně do roviny A B C D a označme EL' průmět 
elementu n. Uvažujme průměty řezů G III H IIIIV, G 1 I l II 1 H 1 III 1 IV 1 
s rovinami rovnoběžnými L, L v Posuňme průmět G' I' II' H' IIP IV' 
rovnoběžně tak, až body G, H splynou s G x resp. H v Tím dospívá průmět 
ten do polohy G x 1 2 H 1 3 4. Body 1, 2, 3, 4 leží pak na přímkách 7/ G v 
77/ H lt H 1 III /, G x 77/. Při naší volbě roviny L x leží body 1, 2 na 
stranách G x 7/, 77/ H v kdežto body 3, 4 jsou na prodloužení stran 
H x III /, G 1 IV /. 
Platí pak vztahy: 
G E IP H IIP IV’ =*G 1 12H 1 3 4=G X 12H 1 //// 77/ + 3 4 77/ 777/ 
= G x 7/ 77/ H x 777/ 77/ — 7/ 77/ 2 1 + 3 4 77/ 777/. 
l* 
XXV. 
