7 
GI 0 = H 0 III,, 7 0 II, = 777 0 iv 0 , 77,, 77 0 = /F o G# , 
takže v tomto vztahu úsečka G G 0 jest zcela obdobná k úsečce dříve též 
takto označené. 
5. Ze shodnosti zmíněných trojúhelníků plyne také 
< G I, B = <£ 7) 0 777 0 77 0 , <£ C 0 II 0 77 0 = G 0 7F A 0 
a dále 
5 7 0 = 777 0 A,, 7 0 £•„ = 77/ 0 . 
C 0 77,, = 7F 0 A 0 , II 0 E 0 = F 0 7F 0 , 
takže v prostoru body G, 77; 7, 777 ; 77, 7F jsou diametrálně protilehlé. 
Z rovnosti úhlů uvedených seznáváme především, že přímky oriento¬ 
vané 77 II, 77 C svírají stejné úhly jako přímky GI.GB, rovněž ve své 
rovině orientované, při čemž smysl jest vyznačen pořadem písmen. Ve- 
deme-li bodem E kolmice ku BA a. CD, jichž paty budtež G* resp. 77*, a 
dále rovnoběžky ku 7 G resp. 77 77, o průsečících G resp. 77 s B A resp. 
CD, a protne-li G* H* přímku G77 v bodě X, jest 
77* X : G* X = H* 77 : G* G = E H* : E G *, 
při čemž Z leží mimo úsečku 77* G*. Z toho plyne, že přímka E X, která 
leží v rovině rovnoběžné ku GI,II 77, půlí jeden úhel přímek 77* E,E G* aže 
jest kolmá ku rovině E, která půlí vnitřní úhel stěn A B E, DC E. 
Právě tak seznáme, že rovina E', která půlí vnitřní úhel stěn A D F, 
AEB, jest kolmá ku přímce A Y, která leží v rovině rovnoběžné ku 
přímkám GI, IIIIV a vedené bodem A. 
Konečně uvazujme ješte roviny jdoucí bodem B rovnoběžně ku 
přímkám 77 7, IV G. Prvá z nich svírá s E C týž úhel jako druhá s A F 
Tudíž jest tato rovina rovnoběžná ku přímce B Z, která jest kolmá na ro¬ 
vinu E", půlící vnitřní úhel stěn B EC, B A F. 
Posuňme roviny E', E" rovnoběžně tak, aby procházely bodem E, 
rovněž jako rovina E. Pak půlí roviny tyto úhly trojhranu o vrcholu E, 
jehož dvě hrany procházejí body B, resp. C a třetí jest rovnoběžná ku A B 
i co do smyslu. Tudíž protínají se tyto tři roviny v jedné přímce u, ose to 
trojhranu zmíněného. Z toho plyne, že přímky E X, A Y,B Z jsou kolmý 
k « a že tedy šestiúhelník G 7 77 77 777 IV leží v rovině jdoucí bodem O 
kolmo ku přímce u. 
Přímku u obdržíme pak též takto. Prodlužme tři stěny osmistěnu, při¬ 
lehlé ku jedné z obou stěn na řezu nesúčastněných, na př. A D E, čímž 
obdržíme trojhran, jehož vnitřní osa udává směr hledané přímky u. 
Tím nabýváme věty: 
Mezi všemi šestiúhelníky , které leží na našem plášti, mají ony, které 
leží v rovinách kolmých ku přímce u, nejmenší obvod, a mezi všemi těmito 
má ten šestiúhelník , jehož rovina jde středem O, největší obsah. 
Druhá část věty plyne zcela obdobně jako při osmistěnu spe¬ 
cielním. 
XXV. 
