4 
Předpokládejme, že máme utvořenu rovnici R _i 
U + . y^ 1 + =* 0 
o invariantech /z_i, &_i souvisící s podobně jako R s platí tudíž dle (6) 
& 
2_i 
Vyloučímeli nyní y z rovnice (2), obdržíme tedy touž rovnici R -i 
kterou bychom dostali z R _i substitucí pro y_i == 2_i v_i. Chceme-li rovnici 
jR_i skutečně z i? obdržeti, není všeobecně možná učinit to přímo nýbrž 
nutno právě nejdříve transformovat R kaskádně na R- 1 a pak substituci 
pro 
y_ x = -5—í- přejiti teprv k R- 1 . 
2—1 
Možná tedy z rovnice jR kaskádně odvodit pouze R v R- 1 . Poněvadž 
o každé z těchto rovnic platí totéž, jest dokázán theorem (za supposice, 
že funkci a Či. 1. chceme položiti rovnou nulle): 
Rovnici R lze kaskádně transformovat pouze na oboustrannou řadu rovnic 
R-i, R,R V .... Ri, .. • • ( 7 ) 
Integrály těchto rovnic souvisí vztahem y* = Zi y' i+ i, 2 ť =■ pro 
indexy kladné i záporné. Známe-li tedy řešení kterékoli rovnice Ri, R-j 
řady (7), lze řešiti všechny ostatní differencí resp. quadraturou. 
Je-li k = 0, můžeme dle (1) psát R ve tvaru 
y n ~ l + q x y n-2 + . . . + q n - 1 y = const; 
značí-li J řešení rovnice 
y n ~ 1 + r x y n ~ 2 + . . . + r n -1 y = 0, 
má R při k = 0 integrál 
y = j J d x cotó. 
V obou případech se tedy sníží řád o jednotku. Je-li všeobecně fa = 0, 
řada končí v právo rovnicí Ri a tuto i všechny předcházející lze o řád 
snížiti, při čemž nutně fa = fa-\ 4= 0. Při &_/ = 0 lze řešení rovnice R-j, 
kterou se pak zakončuje řada (7) v levo, jakož i řešení všech následujících 
rovnic převésti na řešení rovnice o řád nižší a na quadratury; při tom 
h-j = k-j + i =k 0. 
3. Invarianty h', k' rovnice R' adjungované k R jsou k invariantům 
této původní rovnice v jednoduchém vztahu (h\ k 1 , R' neznačtež derivace). 
Pišme R' ve tvaru 
y n — p 1 y” -1 -f- . . . J- [— n — p\ ~ J - n — 2 X pz 3 —. • + ( — l) w pn-i\y 
+ [- pr- + pr 2 i) n pn] y = o. (R f ) 
XXXII. 
