ROČNÍK XXII. 
TŘÍDA II. 
ČÍSLO 33. 
Druh trojúhelníků maximálních a minimálních 
danému trojúhelníku opsaných neb vepsaných. 
Podává 
J. Sobotka. 
(S 8 obrazci v textu.) 
Předloženo 7. června 1913. 
1. Ve svém originelním díle plném podnětů: „Maxima und Minima in 
der elementaren Geometrie" (Lipsko 1910) vyvozuje R. Sturm na straně 12. 
tyto dvě věty: 
Z trojúhelníků opsaných danému -trojúhelníku rovnostrannému jest 
největší ten, jehož strany jsou půleny vrcholy daného. 
Z trojúhelníků vepsaných rovnostrannému jest nejmenší ten, jehož 
vrcholy půlí strany daného. 
Zabývejme se v dalším zejména zevšeobecněním těchto vět. 
Spojíme-li vrcholy trojúhelníka ABC s libovolným bodem D jeho 
roviny, tvoří, v případě že D leží uvnitř trojúhelníka, součet úhlů AD B, 
BDC,C D A úhel plný; v každém z těchto úhlů jest obsažena jedna a jen 
jedna strana trojúhelníka ABC a prodloužení přes vrchol každého ramena 
těchto úhlů protíná jednu stranu trojúhelníka. Leží-li však D vně ABC, 
jest jenom jedna ze stran proťata přímkou, kte á spojuje bod Z) s vrcholem 
straně protilehlým. Označme tento vrchol C. Prodloužíme-li C D za bod D 
do DC*, tvoří úhly A DB, BDC*, C*D A plný úhel a první z nich 
obsahuje celý trojúhelník ABC, kdežto v druhých dvou není obsažena 
žádná strana jeho. 
Můžeme nyní sestrojiti trojúhelník A Q B 0 C Q o takovém smyslu oběhu, 
/^e jeho strany A Q B n , B 0 C 0 , C 0 A 0 jsou též co do smyslu rovnoběžný v prvém 
případě k paprskům D C, D A, D B, v případě druhém k paprskům D C*, 
D A, DB. Uhly tohoto trojúhelníka doplňují se s úhly BDC, C D A, 
ADB resp. B D C*, C*D A, A D B vždy na dva pravé. Mysleme si nyní 
R ozprava: Roč. XXII. Tř. II. Čís. 33. 
XXXIII 
1 
