7 
ným stranám trojúhelníka AqB 0 C 0 \ opíšeme dvě z kružnic {A'), (B'), 
(C) trojúhelníkům B C A', C A B', A B C a stanovíme jejich průsečík D. 
Pak jest trojúhelník A’’B”C”, jehož strany jdou body A, B, C kolmo 
k D A, DB, D C nebo rovnoběžně ke stranám (i y, y a, a (5 trojúhelníka 
středů uvažovaných kružnic, trojúhelník hledaný. 
ABC 
Jest tedy poměr plošných obsahů dvou trojúhelníků dané 
podoby, z nichž jeden ABC vepsán jest druhému A' B' C' , minimum, pro- 
tínají-li se kolmice v bodech A, B, C ke stranám B' C', C'A', A’ B’ v jednom 
bodě. Můžeme tedy říci: 
Ze všech trojúhelníků danému trojúhelníku A' B'C' vepsaných, které 
jsou podobny druhému danému trojúhelníku, jest ten ABC nejmenší, pro 
který kolmice sestrojené ve vrcholech A, B,C ke stranám trojúhelníka A' B'C' 
protínají se v jednom bodě. 
Abychom tedy danému trojúhelníku A' B' C' vepsali minimální troj¬ 
úhelník ABC podobný druhému, danému trojúhelníku A*B*C*, opišme 
nejprve trojúhelníku A*Z?*C* maximální trojúhelník A"B"C", který 
jest podoben trojúhelníku A'B'C f , a k získanému obrazci sestrojme po¬ 
dobný obrazec tak, že trojúhelníku A"B"C" odpovídá A' B'C ; v této 
podobnosti odpovídá pak trojúhelníku A* B* C* žádaný trojúhelník ABC. 
Nebéřeme-li zřetel na smysl oběhu trojúhelníků, obdržíme pro každou 
z úloh právě řešených dvě různá řešení; jedno odpovídá trojúhelníku 
AqB 0 C q resp. A*B*C*, řešení druhé pak trojúhelníku, který jest k němu 
vzhledem k nějaké přímce jeho roviny souměrný. V případě prvého řešení 
je-li dán trojúhelník A 0 B 0 C 0 , přicházíme k bodu D, v případě druhém 
k bodu D 1 a víme již, že body A, B, C leží na rovnoosé hyperbole, která 
má D D 1 za průměr. 
Poněvadž úhly sevřené orientovanými přímkami D A, D B, D C jsou 
rovny úhlům přímek D 1 A, D 1 B, D X C příslušně orientovaných, jsou po 
symetrickém zobrazení, na př. těchto, dle libovolné přímky roviny, rovny 
též co do smyslu. Z toho plyne (obr. 2), že kružnice souměrné k (CJ, (A’), 
(B’) vzhledem ke stranám A B, B C, C A, totiž (C\), ( B' t ), (A\), protínají se 
v bodě D x a že na těchto kružnicích leží vrcholy trojúhelníků, které jsou 
trojúhelníku ABC opsány a trojúhelníku A 0 B 0 C 0 podobny, majíce k němu 
nesouhlasný smysl oběhu. 
Kolmice v bodech A, B, C, k D 1 A, D X B, D X C dávají pak největší 
trojúhelník A"B"C" ze všech trojúhelníku ABC opsaných, které jsou 
k A q B 0 Cq podobny, smyslu však nesouhlasného. 
Z dřívějších našich úvah plyne, že body A v B v C v souměrné k D 
vzhledem k BC, CA, AB leží na kružnici l, která prochází bodem D l a má 
střed v ohnisku L kuželosečky, která jest vepsána trojúhelníku ABC 
a má v bodě D jedno ohnisko. Jest tedy L bod inversní k bodu D vzhledem 
k trojúhelníku ABC, takže spojnice bodu L s vrcholy A, B,C jsou souměrný 
ke spojnicím bodu D s týmiž vrcholy vzhledem k symetrálám úhlů troj- 
XXXIII. 
