8 
úhelníka ABC, což také naše konstrukce potvrzuje. Neboť (obr. 2) sy- 
metrála úsečky B x C x jde bodem A, ježto A C 1 — A j5 1 = AD, a jest prů¬ 
měrem kružnice l, takže <ýiC 1 A L = A B 1 = *4 C X A B ± = <£B A C. 
Jest tedy také <$íB A L — <$1C A B x = <^C D A C. 
Obdobné výsledky obdržíme vzhledem k D v Jsou-li a x , f} lf y 1 středy 
kružnic {A 'J, ( B 'J, (C^), jest A"B"C" podobně položen k pro bod 
Dj jako střed podobnosti a dle poměru 2 :1. Vzájemná poloha a (3 y a cc l (i 1 y 1 
jest vytčena tím, že a, c^; /?, fa; y, y 1 jsou navzájem souměrný vzhledem 
ku B C, C A, A B. Ježto bod A v souměrný k D vzhledem k B C, leží na 
kružnici (. A 'J, jest D 1 a 1 = A 1 cc 1 , a A-^ a x ,-D]a jsou rovněž úsečky souměrné 
vzhledem k B C, tedy sobě rovny. Tudíž jest D a = A 1 ^ = D x a v rovněž 
tak D ji = D ± f} v D y = D x y v 
Mají tedy extremní trojúhelníky A”B”C”, A”B” C” tu vlastnost, 
že vzdálenosti vrcholů prvého trojúhelníka od bodu D jsou rovny vzdá¬ 
lenostem příslušných vrcholů druhého trojúhelníka od D v 
5. To vede nás k následující úvaze. 
Uvažujme nejprve dva přímo podobné trojúhelníky L M N, L M N 
a budtež O, O středy opsaných jím kružnic g, g. Můžeme uvést i trojúhel¬ 
níky ty do takové podobné polohy L'M'N', L'M'N',že středy O, O splynou 
v bodě O', čímž g, g dospívají dog',g', a přímky L' Z', M' M', N' Ň' prochá¬ 
zejí bodem O’, což jest možno dvojím způsobem. 
Vytkněme jedno z těchto přiřazení. Libovolnému bodu P r na g' 
nechť odpovídá při tom bod P' na g'. Jest P' L' — P' L', P'M' = P'M', 
P' N' = P' Ň'. Z toho plyne, že řada bodů P' na g', a příslušná jí řada 
bodů P' na g' jsou geometrickým místem bodů, pro které platí rovnice 
právě vytčené. Že vně nebo vnitř g' a g' není bodu, jenž byl měl tuto 
vlastnost, snadno nahlédneme. Neboť kdyby byly H', H' dva takové body 
a položíme-li 
0’H' = d, O'H' — d\ = s v <^H'0'M' = f ± + a, 
<Š.H'0'N' = s 1 A-b a <£ H'O' Ž7 = <? 2 , 
jest 
H'0'M' = e 2 + a, <£ H'0'Ň' = s 2 + b. 
Vyjadřme na základě věty cosinové H' L', H' M' , H' N' jakož i H' L', 
H' M', H' N' z trojúhelníků, které mají tyto úsečky základnami a 0 ' vrcho¬ 
lem, a položme H' L' = H' Z/, ..., pak seznáváme, že především musí 
být e 1 = £ 2 a že tedy H ', H' leží na jednom paprsku jdoucím bodem 0', 
z čehož plyne, že d jest rovno poloměru kružnice opsané trojúhelníku 
L'M' N' a á poloměru kružnice opsané L'M'N', čímž naše tvrzení jest 
dokázáno. 
Obdobné platí po dva podobné trojúhelníky L*M*N*, L* M* N* 
protivných smyslů, jejimiž vrcholy přiřazeny jsou bodové řady kružnic g, 
g rovněž podobně, avšak ve smyslech nesouhlasných. 
XXXIII. 
