13 
mkům, z nichž jeden má s A G B G C G smysl stejný, druhý pak opačný 
a příslušnou dřívější konstrukci můžeme upraviti takto. 
Opišme trojúhelníku A G B G C G trojúhelník A'B'C', k ABC podobně 
položený. Kružnice opsané trojúhelníkům A 0 C 0 B ', B 0 A 0 C', C 0 B 0 A ' pro¬ 
tínají sevDa průměry jejich z bodu D vycházející mají koncové body 
B, C, A ve vrcholech trojúhelníka A B C, k A B C přímo podobného, pro 
který jest A 0 B G C G nejmenší z trojúhelníků vepsaných, k A 0 B 0 C 0 přímo 
podobných. Sestrojme k obrazci tak získanému obrazec homothetický 
A*, C*, B*, D* pro A jako střed a pro jako modul podobnosti, načež 
opišme kolem A, B resp. C jako středů kružnice o poloměrech A* D*, B* D*, 
C*D*, které procházejí určitým bodem P. Paty kolmic z bodu P na strany 
trojúhelníka ABC jsou vrcholy hledaného trojúhelníka A 1 B l C v Označme 
opět Oo,b 0 , c 0 délky stran A 0 B 0 C 0 a a, p, y úhly daného trojúhelníka ABC 
a položme opět P A = l a , P B = l f , P C = l Y . Pak jest 
l a • Ifi 
.7 _ U 0 
• L y — ~r ~— • 
sin a ’ sin /3 ' sin y 
DA:DB 
Bod P leží tedy na třech kružnicích k u , kp t k y , které mají tu vlastnost, 
že poměr vzdáleností od vrcholů A, B pro body na k y jest roven l a : 1$, 
poměr vzdáleností bodů na k a od B a C jest 1$ \l Y a konečně obdobně pro 
body na kp od C a A jest l y : l a . Tyto kružnice protínají kružnici v trojúhel¬ 
níku ABC opsanou orthogonálně a mezi sebou protínají se, jak plyne 
£ předchozího, vždy reálně, náležíce témuž svazku. Jeden z jejich prů¬ 
sečíků jest P , druhy jest bod P ', k bodu P vzhledem ku v inversní. 
Shrneme-li řečené, máme'tuto konstrukci. Sestrojíme dvě z kružnic 
^ a, kp, přímo na základě poměru 
l Cl • 
a o . ^0 . C 0 
sin a * sin (5 ' sin y ’ 
^>ez použití pomocného obrazce právě vytčeného. Tyto kružnice dávají 
)ak přímo body P a P'. 
Můžeme sestrojit i také centrálu kružnic k a , kp, k Y tím, že stanovíme 
ejí body na A B, B C, CA z okolnosti, že tyto body dělí strany A B , 
P C, C A v poměrech 
ímž tyto kružnice, jako orthogonální ku v, jsou stanoveny. 
Leží-li nyní P vně kružnice v, trojúhelníku opsané, leží P' uvnitř 
f a na °pak. Trojúhelníky /\ lf /\ 2 z pat kolmic jdoucích body P resp. P' 
;^e stranám ABC jsou tedy podobnytrojúhelníku A 0 B () C 0 , jeden přímo, 
jlruhý obráceně, a z (3) plyne jsou-li p\p*‘ potence bodů P,P’ 
LS 2 P 
XXXIII. 
