14 
vzhledem ku v. Má-li A 0 B 0 C 0 týž smysl oběhu jako ABC, jest příslušný i 
bod P pro hledaný trojúhelník A 1 B 1 C Í bodem vnitřním kružnice v, je-li 
smysl jeho však nesouhlasný, jest P vnějším bodem kružnice v , čímž při-1 
řazení jest předem dáno. 
9. Má-li specielně danému trojúhelníku ABC býti vepsán nejmenšíjj 
rovnostranný trojúhelník A'B'C' o témž smyslu oběhu, resp. A B C j 
o smyslu opačném, uvažme, že zde l a sin a = lp sin (5 = l y sin y nebo, I 
značí-li a, b, c délky stran v A B C, 
l a a = lp b == ly c. (^)l 
Ze vztahu l a : 1$ = b : a plyne, že kružnice k y prochází bodem C,I 
tedy protíná v tomto bodě kružnici v orthogonálně. Jsou tudíž k y , k a i 
kp Apolloniovy kružnice trojúhelníku ABC. Jejich středy jsou průse-l 
číky stran A B, BC, CA s tečnami ku v v bodech C, A, B. Tyto kružnice 
protínají se jak známo v isodynamických středech trojúhelníka ABC. Mámel 
tedy výsledek: 
Paty kolmic Spuštěných s isodynamických středů daného trojúhelníka 
na jeho strany jsou vrcholy nejmensích trojúhelníků rovnostrannych, kterd 
možno danému trojúhelníku vepsati. 
Vidíme zároveň, že vzdálenosti isodynamického středu libovolnéhcs 
trojúhelníka od jeho vrcholů jsou úměrný ku příslušným výškám troj-: 
úhelníka. 
10. Přejde-li trojúhelník A BC v přímku, máme úlohu: 
Body A, B,C dané přímky vésti strany B' C, C' A ', A' B f trojúhelníka 
k danému trojúhelníku podobného , aby obsah jeho byl maximální. 
Konstrukce sama neposkytuje nic nového. Hledaný trojúhelník jes| 
tečnovým trojúhelníkem paraboly, která má ABC tečnou vrcholovou 
a bod D ohniskem. 
Rovněž tak řešíme úlohu: 
Sestrojiti jest nejmensí příčku stran daného trojúhelníka, která jes^ 
jimi dělena v daném poměru. 
Všecky přímky, které jsou stranami daného trojúhelníka dělem 
v daném poměru, obalují parabolu a hledaná jest tečnou vrcholovou, n. 
základě čehož ji snadno sestrojíme. 
11. Těmto úlohám příbuzná jest tato úloha: 
V dané rovině bodem H sestrojiti nejkraťsí úsečku mezi rameny daněk 
úhlu. í I 
Tuto úlohu uvádí Sturm v poznámce na str. 13. uvedeného díl 
a poznamenává, že pro hledanou úsečku kolmice k ramenům v jejich bodec 
koncových a kolmice k ní samé v bodě H protínají se v jednom bod( 
Důvod tohoto tvrzení snadno nahlédneme, předpokládáme-li, že minimurí 
skutečně nastává. Otáčí-li se přímka okolo H tak, že úsečka uvažován 
se stále zmenšuje, až dospěje do polohy odpovídající minimu, pak p 
dalším otáčení délka její se opět zvětšuje. V mezích jsou tedy úsečky n| 
XXXIII. 
