4 
Dále jest 
A A D D' = A A D A f , /\ D C D' — /\ D C C', 
jsou tedy také trojúhelníky D'C D, D'A D navzájem rovny. Poněvadž| 
pak mají společnou základnu DD', jest D D' || A C. 
Abychom tudíž k danému čtyřstranu tečnovému A BC D sestrojili 
konvexní čtyřúhelník A'B'C'D' téhož obvodu a s týmiž úhly ve stejném 
pořadu, vedme jedním vrcholem čtyřstranu ABCD, na př. bodem D 
rovnoběžku l k oné úhlopříčně, která vrchol ten neobsahuje, zde tedy k AC 
na l zvolme libovolně bod D’ jako vrchol hledaného čtyřstranu, jehož 
vrchol protilehlý splývá s B, při čemž jest D' A' || D A, D'C' || DC. 
Tento výsledek ved ' k jednoduchému řešení úlohy: 
K danému konvexnímu čtyřstranu A'B'C'D' sestrojiti jest čtyřstrat 
tečnový ABCD téhož obvodu , s týmiž úhly ve stejném pořadu jako v čtyř-y 
stranu daném. 
Vepíšeme (obr. 1.) jednomu z úhlů čtyřstranu, na př. úhlu A f B' C 
libovolný kruh a sestrojíme ke kruhu tomu čtyřstran tečnový A 0 B'C 0 D (I 
jehož strany B' A 0 , B'C 0 leží na B' A' resp. B'C', a A 0 D 0 || A D 
C 0 D 0 \\C' D'. Bodem D' sestrojíme přímku / \\ A 0 C 0 , která protne B'D 
v bodě D, jímž vedeme rovnoběžky k D' A' a D'C', které protnou B' A { 
a B'C v bodě A resp. C; A B'C D jest pak čtyřstran hledaný. 
3. Porovnejme nyní plošné obsahy P,P' čtyřstranu A BCD, A' B C D 
Orientujeme-li plochy příslušné, dostáváme 
p — P' = A' L D A — C C'D' L 
= A'M D A +DM L — CC'D'L. 
Poněvadž A A' D = C C' D, jest také A' M D A = C C D 2 D, jestlizl 
rovnoběžka DD 2 ke straně B C protíná přímku C'D' v bodě D 2 . 
Jest tedy 
P—P' = CC'D 2 D — CC'D'L + DM L 
= LD'D 2 D + DM L, 
tudíž 
P—P' = MD'D 2 D. (8') 
Strany čtyřúhelníka MD'D 2 D jsou v našem případě 
M I) =a — a', D D 2 = b' — b, 
D 2 D' = c — c; D'M = ď — d. 
Poněvadž pak 
a b c A~ d ~ a' -\- b' c' ď 
čili 
(a — a') + (c — c ') = ( b' —- b) -f- (ď d), 
jest MD'D 2 D čtyřstranem tečnovým. 
XXXIV. 
