74 
K vůli stanovení integračního oboru třeba uvážiti, že pokud 0 < cp <_ 
je celý kruh r^v polovici prostoru dané podmínkou y > 0, takže pro náš 
kvadrant přicházejí v úvahu hodnoty 
0 <cp <: , 0 < CC < 7T . 
Pokud je pak # < cp < n —zapadá do našeho kvadrantu jen 
část kruhu r v , a sice od hodnoty a = 0 do a = a v při čemž a x odpovídá 
bodu, v němž kruh r v prostupuje osou O z, t. j. 
cos 
- O G 
Oo 
a cos cp, o K 
c sin cp ; 
hodnotám cp mezi n — & a n neodpovídají body plochy uvažovaného 
kvadrantu. 
Tedy obor integrační jest omezen — interpretují-li se proměnné 
cp, a jako pravoúhlé souřadnice — osama O (p, O a, prmkou a = % (od 
cp = 0 do cp = O) a čarou 
cos a + tg cotg cp = 0 . 
Počneme-li integrovati vůči cp, zní výraz pro ploský obsah kvadrantu 
' .31 <f\ 
0 o 
kde cp x hoví rovnici omezující křivky 
cos a -f- tg fr cotg <p x = 0. 
Po dosazení hodnoty za z/ máme tak 
£ 
4 cg 
3V <p x 
j d a J V sin 2 a cos 2 cp + cos 2 a sin cp dep ; 
o o 
vnitřní integrál určí se substitucí 
z = sin a cos cp 
a má hodnotu 
1 
- 1V z 2 + cos 2 adz = — -r— t— f z^ z 2 + cos 2 a + cos 2 a log (z + ^z 2 + cos 2 a 1 
a J 2 sm « L ° Jo 
l p ( __ _____iv 
- — 2 stna I sin a cos qpV 1— sin 2 a sin 2 cp + cos 2 a log [sin a coscp+} 1 —sin 2 a sin 2 cp) 
a tak vyjde, násobíne-li obě strany 2, rovnice: 
9>i ) 
(52) ~2~č~ = (ú a ( 1 — cos < jPi V 1 — sin 2 a sin 1 
0 
sin a cos qp x -f V 1 — sin 2 a sin 2 cp l 
C _ cos s a , 
\ d a — -/oj? 
J sin a 
1 + sin a 
xxxvr. 
