ROČNÍK XXII. 
TŘÍDA II. 
ČÍSLO 37. 
Extrémy mnohoúhelníků vepsaných. 
Napsal J. Sobotka. 
(S 8 obrazci v textu.) 
Předloženo dne 15. července 1913. 
1. Uvažujme jednoduchý mnohoúhelník A 1 A 2 . . . A n a mnoho¬ 
úhelník B 1 B 2 . . . B n , jemu vepsaný, takže vrchol B k leží libovolně na 
přímce Ak Ak +1 . 
Orientujme délky stran mnohoúhelníka B 1 B 2 . . . B n vzhledem 
k A 1 A 2 ...A n a to tak, že po sobě jdoucí strany Bk-iBk, Bk Bk+i ozna¬ 
číme souhlasně nebo nesouhlasně dle toho, zdali leží na téže straně nebo 
na různých stranách přímky Ak Ak+ 1 , na které leží jejich společný vrchol. 
Zvolíme-li tedy znamení některé strany B 1 B 2 . . . B n libovolně, jest tím 
postupně určeno znaménko všech ostatních stran. Nesouhlas mohl by 
tu nastati při první a poslední straně. V tom případě považujeme 
B 1 B 2 ...B n za 2 w-úhelník o dvou splývajících obězích, takže každá 
strana tohoto mnohoúhelníka má pak dvoje označení, jedno náležející 
oběhu prvnímu, druhé oběhu druhému. Algebraický součet délek stran 
takto orientovaných mohli bychom nazvati obvodem mnohoúhelníka 
B 1 B 2 . . . B n orientovaného vzhledem k A x A 2 . . . A n a označme jej u. 
Budtež a k ,k+i strany Ak A k +i a b k .k+i strany B k B k + 1 příslušným zna¬ 
ménkem opatřené. 
Případy mnohoúhelníka s lichým počtem stran a se sudým počtem 
stran budeme uvažovat i odděleně, ježto mnohoúhelníky vepsané mají 
v obou těchto případech vlastnosti různé. 
2. Budiž předně A 1 A 2 ... A 2n +i jednoduchý mnohoúhelník o lichém 
poctu stran, aniž však nutno předpokládati, že jest konvexní. Ohel při 
vrcholu Ak označme ak. 
Test zde 
2n + l 
2J ak = (2 n — 1) n . (1) 
i 
Rozpravy: Roč. XXII. Tí. II. Číslo 37. 1 
XXXVII 
