[dány úsečkami rovnoběžnými k A t N/' mezi A 1 A 2n+lý A^' A'{ n+1 , stejný 
1 jest pro všecky vepsané uzavřené mnohoúhelníky roven minimu, ježto 
yto rovnoběžky jsou nejkratší spojnice souhlasných bodů na úsečkách 
4 1 A 2 „+i a A/' Aí ’ n+1 a jejich prodloužení. Poloha každé strany C k C k+l 
olyne z polohy strany bezprostředně předcházející odrazem na straně 
UA Ř+1 . Úsečky A, A,, (A 2 A 3 ) 2 , (A 3 A 4 ) 3 ,. . . (A 2 n+ 1 A 1 ) 2n+lj A/A, tvoří 
;izavřenou lomenou čáru 2 J 1 ; rovněž tak tvoří úsečkv A/A ' (A ' A ') 
3 4 j 3 > • • • l 2 n+i A ± )2n+i, A x A ± caru U 2 . Otočíme-li prvou z nich 
nlem kterékoli přímky její roviny o % a posuneme ji pak tak, že A x A ' 
plyne s A{ A,", splyne se U 2 . Z toho plyne, že každé dvě pří- 
lusne úsečky těchto čar jsou antiparallelní k A, A/'. Tudíž jsou také 
ojúhelníky párů (C*.,) (A„) k (C»), (CV,) ( 4 '»).((Y) navzájem podobny, 
ikže Ck-iCk’ IICí.jC*. Jest tedy jeden oběh vepsaného mnohoúhel- 
íka rovnoběžný ke druhému. Ježto také obdobně A 1 A 2n+1 , A,'A 2 ' n+1 
íkož i A 1 A 2 ' n+ 1, A" Azn+i jsou antiparallelní vzhledem k A l A", 
rotíná přímka h, která půlí vzdálenost bodu A/ od přímky A, A 
nmky A 2n ^ A lý A 1 A 2 , (A 2 A 3 ) 2 , (A 3 A 4 ) 3 , . .. (A k A k+ ... (A 2 ' n+1 A/), 
i A 2 , (A 2 A 3 %, .. . {Ak A' k+l ) k , . . .A 2 n+X A 4 resp. v bodech H 2n+1 , 
!' Í H *>’ ( H 3)j ■ ■■ (Hk), ...(H 2 ' n+1 ), (tf/), (H 2 '),...(H k '),...(H 2 '„ +i ) 
k, ze mezi dělicími poměry platí rovnice 
(A- 2 n+\ A ! H 2n+Í ) = f A 2 ' n+1 A t ' (H 2 ' n+1 ) ] = [A ’{ n+1 A /' [H’í n+i ) ] 
= w A * w) ]- [ ( A *u m* + o* m ] = t (A*% (A r M ) (H’ k ) j. 
L z tQ ho plyne, že při zpětném otočení trojúhelníků body H 2n+1 , 
,’n+u H'ín+i splývají v jednom bodě H, n+1 , rovněž tak body H v h/, 
obecně body H k , H' h . Splývají tedy oba oběhy vepsaného' mnoho- 
telmka a dostáváme jedině možný vepsaný (2 n + 1)-úhelník, pro 
erý součet u jest minimum. 
: Neboť zvolíme-li na A- x A 2n+1 a A/A 2 '„ +1 body P, Q tak, že dělicí 
jměry (A, A 2n+1 P), (A 4 A 2n+1 Q') jsou navzájem rovny, obdržíme 
lětným otáčením jednoduchý (2 n + 1)-úhelník, jenž jest danému vepsán 
jehož algebraický součet stran jest roven P Q. 
I Pro různé hodnoty těchto dělicích poměrů budou příslušné 
iraky PQ obalovati parabolu, která má H 2 n+ 1 H 2 ’ n+1 tečnou vrcho¬ 
vou. Ježto na této přímce vyťata jest přímkami A 1 A 2n+1 , A 4 A/ n+1 
jsčka, která jest menší než úsečka vyťatá na kterékoli jiné tečně, vidíme, 
| posléze uvažovaný (2 n+ 1 )-úhelník H t H 2 ... H 2n+1 má skutečně 
menší algebraický součet stran. 
4 . Zvolme A x A/' za kladný směr osy x a přímku vzniklou z této osy 
•čením okolo A x o — v kladném smyslu za kladnou osu y a vyjadřme 
|holy lomené čáry čísly komplexními; označíme-li pak úsečky A 1 A 1 ', 
• . , A h A k+1 ,. . písmeny s, a 12 , . . , a k , k +i, . . ., jest 
XXXVII. 
