10 
resp. úhly P, 2 p, . . . k P, . . . . Obecně nebude naše pravidelná lomená H 
linie uzavřena, nýbrž toliko tehdy, existuje-li násobek úhlu p takový, 
aby byl násobkem 2 %. 
Existuje-li číslo s, aby s p bylo násobkem, na příklad r- tým, úhlu 2 %, , 
jest A ! (s ) = A 1 a mnohoúhelník P s + i splývá s P v V tomto případě budiž s 
nej menší číslo vytčené vlastnosti, takže čísla r, s jsou nesoudělná a jest j 
P = Z a 2k — Z a 2k -1 = 24 -*. ( 6 ) 
*=i a=i s 
Tím obdržíme pravidelný s-úhelník, který jest vepsán kružnici k; j 
(5 jest vnější jeho úhel a součet všech jeho úhlů vnějších jest s p = 2rx. 
Z toho plyne, že tento mnohoúhelník jest druhu z. 
Ježto {Azn + 1 -4i) (s) = A 2 n +1 A v seznáváme, že odrazíme-li libovolný I- 
paprsek na kterékoli straně 2 w-úhelníka A 1 A 2 .. .A 2n , dále když paprsek 
odražený odrazíme opět na straně další a takto pokračujeme, obdržíme 
konečně mnohoúhelník o 2 n s stranách a o s obězích vždy po 2 n stranách, ;< 
jenž jest vepsán našemu 2 w-úhelníku. Algebraický součet stran tohoto 
2 n s-úhelníka jest v našem případě roven nule. Minimum v našem smyslu 
zde tedy nenastává. 
6. Má-li specielně vepsaný 2 w-úhelník B 1 B 2 . . . B 2n býti konvexní 
a v užším smyslu vepsán 2 n-úhelníku A 1 A 2 ... A 2n , tedy tak, že každý 
vrchol B k leží na příslušné straně A k A k + 1 , a značí-li p k resp. a k úhly 
těchto mnohoúhelníků, platí vztahy 
nebo 
Pk + Pk +1 = 2 a k + i, 
takže jest postupně 
Pl "h P 2 — 2 U 2 , Ps + P* = 2 a 4 , ... P-2n-l + P-2n = 2 a 2n , 
p 2 P 3 = 2 a 3 , Pz + p 5 = 2 a 5 , . . . Pm + Pi — 2 ct lf 
2 n n n 
Z p k = 2Z a ž i-i= 2 Z au. 
k=l 1 =1 * = 1 
Zde možno Pý obdržeti z P x jednoduchým rovnoběžným posunutím. 
Rovněž obdržíme P/ z P x 2 w-násobným překlopením. 
Tento případ podřaditi lze tedy případu, ve kterém jest obecně 
2 a 2 /-i — 2 cc 2 i = 2 % r, (7) 
i=i i=i 
kde r značí celé číslo kladné nebo záporné, při čemž jsou přípustný také 
mnohoúhelníky s úhly vydutými. 
Spojme A ± s A/ úsečkou A 1 A ± ' = u a vytkněme • opět pravoúhlý 
systém souřadnic o počátku A x a o ose # stanovené i co do smys 1 ^ úsečkou 
A 1 A 1 '. Nechť svírá A l A 2 s osou x úhel cp. 
XXVXII. 
