19 
(. 1 ) 
Bod 5 půlí úsečku A 1 A 1 2 *, jest tudíž středem pravidelného s-úhel- 
níka A 1 A 1 'A 1 ".. . . AJ- 1 ). 
Každý z mnohoúhelníků P h , P k , P k ", . . . Pk 'lze, ať jest s číslo sudé 
nebo liché obdržet i otočením kolem pevného bodu 5 z kteréhokoliv jiného 
a velikost otočení pro převod ten rovná se otočení, jímž lze dva příslušné 
mnohoúhelníky v řadě P lf P/, P", . . . PÍ"' 1} v sebe převésti. Souhlasné 
vrcholy na Pk, Pk, Pk", ... Pk 1} jsou tudíž vrcholy pravidelného 
mnohoúhelníka téhož druhu jako jest A 1 A 1 ' . . . a majícího též 5 
za střed kružnice opsané. Vepišme do P x mnohoúhelník minimální, t. j. 
takový pro nějž algebraický součet stran rovná se nulle; mnohoúhelník 
lze rozděliti nas dílů po 2 n po sobě jdoucích stranách. Za prvý z nich ( 1 ) 
zvolme libovolných 2 n po sobě jdoucích jeho stran; otočíme-li jej o úhel 
rovnající se co do velikosti jednoduchému úhlu s = A x S A/ ale smyslu 
opačného s ním, pak jsou strany druhého dílu ( 2 ) po řadě rovnoběžný 
ku stranám otočeného dílu ( 1 ); provedeme-li otočení o dvojnásobný 
úhel, tedy o — 2 s, pak jsou strany třetího dílu (3) po řadě rovnoběžný 
ku stranám tohoto druhého otočení dílu ( 1 ), atd. 
Každá přímka v ve sklopení přechází zpětným překlápěním v takový 
2 n s-úhelník; je-li s = 2 m číslo sudé, pak rovnoběžka v G ku v bodem 5 
vedená přechází v 2 n m úhelník, jehož strany půlí vzdálenosti přísluš¬ 
ných rovnoběžných stran 2 n s-úhelníka. 
Ve příčině znaménka budiž ještě poznamenáno toto. Plocha vy¬ 
jádřená posledním vzorcem skládá se z lichoběžníků navzájem různých. 
V rozvinutí vzniklém provedeným oklápěním mnohoúhelníků B, B, . . . 
ve dvě rovnoběžné přímky reprodukují se tyto lichoběžníky též co do 
smyslu; součet jedné poloviny jejich vyjádřen jest rovnoběžníkem, který 
jest omezen těmito přímkami a stranami A x A 2 , A^ A^ m) \ od A ± (m) A 2 (m 
mění se smysl druhé poloviny překlopených mnohoúhelníků vůči pří¬ 
slušným mnohoúhelníkům části prvé; mění se tedy při A^™) A 2 (m > také 
smysl lichoběžníků, takže součet všech těchto lichoběžníků jest roven 
nule, jak jest též patrno z výrazu pro plochu: 
~2~ [(^12 + 6'li) + (^23 + b' 23) + • • • + (b'2n,l + ^2«,l) + • • 
• + 
+ (b% +l) - b' 12 ) + (« +1) - V n ) + . . . + (btt l) - Vin, l) + . . . + 
+ (tón w í — bTJ,i)l 
ježto algebraický součet stran pro B jest roven nule. 
Vyjadřme obdobně k předchozímu pro 
A 1 B 1 ' = V, 2 oM - r/ 
k = i 
body ({', ?/) v soustavě rovnoběžných souřadnic; body ty leží pak při 
proměnlivém B/ na přímce g, která protíná stranu A Y A 2 v bodě B v 
XXXVII. 
