20 
Neboť, padne-li bod J5/ do B^ 2m ^ tedy naopak B {2m \ do B 4 , jest, béřeme-li 
první stranu b' 12 obrazce B vždy kladně, hodnota r/ pro vepsaný mnoho¬ 
úhelník rovna — 2J 
Béřeme-li však pro strany ležící na jedné straně od b 12 znaménko 
kladné, pro strany ležící na straně druhé pak znaménko záporné, vidíme, 
že obsahy mnohoúhelníků B, blížíce se k B z obou stran, budto stále 
klesají nebo stále rostou. Má tedy 2 F vzhledem ke všem F hodnotu 
extremní. 
12 . Učiňme několik applikací našich úvah na čtyřúhelník tětivový. Čtyři 
body na kružnici ležící (obr. 4 .) tvoří úplný čtyřroh, ve kterém jsou obsaženy 
tři jednoduché čtyřúhelníky; jeden konvexní a dva přeťaté. Označme 
vrcholy konvexního po řadě A v A 2 , A 3 , A á ; je-li A 2 = A 3 , A 3 ' = A 2 , 
A 4 " = A 3 , A 3 " = A 4 , jsou A 1 A 2 'A 3 'A 4ý A 1 A 2 A 3 "A 4 " zmíněné čtyř¬ 
úhelníky přeťaté. Vrcholy trojúhelníka diagonálního k našemu úplnému 
čtyřrohu, budte I = A 4 A 3 . A 2 A 4 , II = A x A 3 . A 2 A 4 , III = A 4 A 3 " . 
A 2 A 4 ". Každý ze tří jednoduchých čtyřúhelníků přechází dle 
našich úvah čtyřnásobným překlopením postupně dle jednotlivých stran 
v novou polohu, která jest shodná k poloze původní. Tím dospíváme pro 
každý z nich k vepsaným čtyřúhelníkům o minimálním součtu orientova¬ 
ných stran a jeden z těchto vepsaných čtyřúhelníků bude mít i extremní 
obsah. 
Zvolme na př. čtyřúhelník A 4 A 2 A 3 A 4 , jehož strany označme a' k) k+ 1 . 
Zde jest při známém označení « x + a 3 = 2 a 2 + a 4 = 2 n; vzhledem 
k tomu obdržíme, užijeme-li i co do smyslu označení dřívějšímu obdobné, 
vzorce odpovídající ( 1 ) a ( 2 ) v čl. 6 . 
u' e m 1 v' = a' 12 — a' 23 e’ iat + a' 34 e i{oti ' a4) — a' a e ia * 
0 = a' 12 — a' 23 e ia4 + a' 34 e í(oti+r4 ) — a' 41 e ia \ 
Přičtěme na př. k prvé z těchto rovnic rovnici druhou, jest 
e - 1 <p' — — ^' 23 cos « 4 ) — e i »i {y^ — a ' M cos 
A 
tedy 
u' 
~2 
cos (p' — ( a\ 2 — a' 23 cos cc 4 ) — (a ' 41 — a' 34 cos a 4 ) cos a x . 
n' . , . , , . . 
— sin <p = (a — a 34 cos a 4 ) sm a 4 . 
Dále jest 
(1) 
( 2 ) 
a tedy 
£-*(<*>' +aO _ - a > 23 CQS e -ia l - (a' 41 - a ' 34 COS a 4 ) 
- sin (cp' -f « x ) = (a' 12 — a' 23 cos a 4 ) sin a 4 . 
(3; 
XXXVII. 
