22 
poněvadž A 1 A 3 
jest 
jest průměrem kružnice trojúhelníku A 1 L M opsané. 
LM 
s.n u 1 
A, A 3 '; 
tedy 
u' = 2 . A l A 3 s.n a L = 2 . ^4 2 ' A á sin « 4 . 
Spustíme-li ještě s A 2 kolmici na ^4 3 ^4 4 o patě Q, leží body L, M, Q 
na přímce, vrcholové tečně paraboly vepsané trojúhelníku A 1 A 3 A X , 
o ohnisku v bodě A 2 . 
Dopadne-li paprsek LM na A 1 A 2 nebo na A X A 1 a láme-li se na 
jedné z těchto stran vždy až k další straně čtyřstranu A x A 2 A 3 A x atd., 
dospěje po jednom oběhu zpět do své původní polohy a vytvoří čtyřstran 
čtyřstranu tomu vepsaný, pro který má u' minimální hodnotu 2 . L M. 
Právě tak soudíme, že, dopadne-li paprsek M Q = L M na A ± A 4 = 
A X A 3 nebo A 3 " A á " = A 3 A x a na jedné z těchto stran láme se až 
k další straně čtyřstranu A 1 A 2 A 3 " A 4 " a odtud dále, dospívá po jednom 
oběhu do původní polohy a vytvoří čtyřstran, čtyřstranu A 1 A 2 A 3 ' A 4 r 
vepsaný, pro nějž má u" minimální hodnotu 2 M Q. 
Jestliže konečně týž paprsek L Q = L M dopadne na ^4 3 ^4 4 nebo 
A 1 A X a na jedné z těchto stran láme se až k další straně čtyřstranu 
a odtud dále, vrátí se po jednom oběhu do své původní po¬ 
lohy a vytvoří čtyřstran, čtyřstranu vepsaný, pro nějž má u 
minimální hodnotu 2 LQ. 
Z této konstrukce vidíme, že tyto tři vepsané čtyřstrany obsaženy 
jsou v jednom čtyřstranu úplném. Přicházíme tím k výsledku: 
Úplný čtyřroh kružnicí vepsaný obsahuje tři jednoduché čtyřstrany . 
Minimální čtyřstran, který vepíšeme jednomu z nich, tvoří, pojímán jako 
čtyřstran úplný, dva další jednoduché čtyřstrany minimální, z nichž každý 
jest vepsán vždy jednomu z obou dalších čtyřstranu vytvořených úplným 
čtyř rohem. 
Tím dospíváme k úplným čtyřstranům, které jsou vepsány úplnému 
tětivovému čtyřrohu, a jejichž existence plyne též z toho, že vrcholy 
tětivového čtyřúhelníka jsou středy kružnic, z nichž každá dotýká se 
tří stran vepsaného čtyřstranu. 
Přímka L M Q jest rovnoběžná ke spojnicím pat kolmic z bodu II 
na A x A 2 , A 1 A 4 , z III na ^4 3 " ^4 4 ", A 1 A i " a z / na i 4 d 3 , A x A 4 . 
Jednoduché čtyřúhelníky, jež jsou vespány jednoduchým čtyř¬ 
stranům utvořeným z úplného tětivového čtyřrohu a jejichž strany spojují 
paty kolmic z průsečíka úhlopříčen každého z jednoduchých čtyřstranů 
zmíněných, náleží ke čtyřúhelníkům minimálním a ježto každý z nich 
opsán jest kružnicí o středu II, resp. III nebo I, má jeho plošný obsah 
extremní hodnotu, jak při jiné příležitosti bylo dokázáno. 
XXXVII. 
