1 . Pišme diff. rovnici lin. obyčejnou R (potence značtež derivace) 
y n + Pi y W ~ 1 + ... + ^»y = o .(i) 
bud ve tvaru 
y "i + a y\ + by x — hy' — H y = 0, y, = y n ~ 2 + q 1 y n ~ 3 + ... -j- q n - 2 y (2) 
nebo v druhém tvaru 
y”- 2 + y 1 y x n - z + Yn —2 yi — ky’ — K y = 0, y x = y" + a y' + 
+ by. .. .... (3) 
při čemž a, b jsou jisté funkce x libovolně předem dané. 
Eliminací y x ať ze tvaru (1) nebo ze tvaru (2) vznikne po obakrát 
rovnice R, tedy pozorováním obdržíme hodnoty pro q if h, H, resp. pro 
n, k, K. Vyloučíme-li však postoupne v obou tvarech y, obdržíme 2 rovnice, 
které jsou opět lin. řádu n ho , avšak s jinými koěfficienty. Pravíme o nich, 
že jsme je obdrželi kaskádní transformací; každou z těchto možná opět 
transformovat bud dle (1) nebo dle (2) atd. 
Předpokládejme opět a — b — 0, čímž se úvahy nápadně zjednoduší. 
Čtyry hodnoty h, H, k, K zovme v následujícím „invarianty ". 
Kdybychom chtěli zavěsti transformaci o více než 4 invariantech, 
bylo by nutno psáti rovnici R ve tvaru 
y" i + a y'\ + b y\ + c y l — h ± y" — h 2 y' — Ky = 0, y 1 = y n ~ 3 -f 
+ q x +■... + q n —3 y, 
kde a , b , c jsou libovolné funkce. Tu však nelze vyloučiti y. I když můžeme 
ve zvláštním případě řešiti první z těchto rovnic dle y, jest 
y = • j • [ J. (y' i~T# y" \ + b y\ -t- c y 2 ) dx J dx + c 1 . + c 2 . 
(body značí jisté koěfficienty); dosadíme-li do druhé z obou rovnic, není 
možná zbaviti se integračního znamení a tak obdržeti rovnici lineární. 
Z téhož důvodu nelze rozšířiti transformaci Laplaceovu na rovnici s deriv. 
part. 2. řádu o více než 2 proměnných nebo řádu vyššího o 2 nebo více 
proměnných. 
Tudíž jako lze kaskádně transformovat z rovnic part. pouze rovnici lin. 
2 ho řádu o 2 neodvisle proměnných , tak existuje při diff. rovnicích obyt. n h0 
rádu pouze dvop transformace kaskádní, o 2 a o 4 invariantech. 
Transformace první není ovšem snad zvláštním případem druhé, 
nýbrž oba způsoby jsou od sebe úplně neodvislé. 
2 . Stanovme nejprve hodnoty pro q i} r i} h, H, k, K. Dle čl. 1. obdržíme 
XXXXI. 
