11 
Poněvadž na pravé straně jest součet binomických koěfficientů 
v prvních hranatých závorkách — n —• v druhých n —3 .> 
platí relace 
Qi — — n —■ 2f_i px~ l + n —■ 3j_2 pi~ 2 —■. • • + (— 1)* p %. • . (17) 
Podobnou relací lze vyjádřit i koěfficient pi pomocí Q lf Q 2 , ... . 
Právě dokázaný vztah (17) lze totiž psát ve tvaru 
qi = — Pý- 1 + n^3i_ 2 P 2 ^ — ... + (— 1 Y Pí ; 
poněvadž dle (3) jest Qi + Q\-\ = Pí, 
jest též 
c[i = — n —• i ((?ý -1 + Qo) + ^ — 3j_ 2 (Q 2 ~ 2 + (?i í_1 ) — 
+ (- i) ť (Qi + Q'*-i)> 
kde derivace hodnoty Q 0 píšeme k vůli souměrnosti, ač jsou nulle rovny. 
Zaměníme-li index a derivuj eme-li, obdržíme 
q'i-i = — n 
2 
(W 1 + Qj) + n - 3>-a (Cř 2 + Cř 1 ) - • • • + 
+ (-1)'- 1 ©w + evo- 
Dosadím e-li takto obdržené hodnoty pro qi, q'i-\ do rovnice pi — 
= qi -j- máme vyjádřeno pi hodnotou 
pi — — n -r— \i_ 2 ((lý -1 + Q J) + n — 2j_2 ( Q 2 ~ 2 + (?i í-1 ) — • ■ + 
+ (— 1)* (Qi + Q'í-i) 
— (—- u — 1*—i -\- n — 2í_ 2 ) Qi * 1 -f- {u — 2,;_2 — n — 3 ^ — 3) Q 2 ~" — • • • + 
+ (-1) 4 ' Qi 
čili konečně 
pi = — n~—2i-i Qř 1 + n —3 ť _ 2 Qi~ 2 — .:. + (- 1)' • (18) 
Porovnáme-li relace (17) a (18), vidíme, že jsou navzájem reciproké. 
Užijeme jich k vlastnímu důkazu, který hned následuje. 
Označme koěfficienty rovnice R písmenami p if k nim nechť přísluší 
hodnoty qi, h, z; u rovnice P x pišme koěfficienty touž písmenou s vodo¬ 
rovnou čárkou pi, při rovnici R ’-1 velkým písmenem P i} k těmto P* nechť 
přísluší Qi, h’-\, z ’Konečně R’ mějž koěfficienty P t . 
Pak platí dle „Rozpr. Č. Akad.“ roč. XXII., č. 32. (P A ): 
z -1 
z -i 
Pi — Qi + n — i x Qi- 1 ,- 1 + • • • + n — i -f ] — 1/ Qi-j —, -)-•■• + 
Z —i z _ 1 
+ n~ U y 1 ; 
z _i 
XXXXT 
