Při kollineačních grupách první uvedené skupiny může být i inva¬ 
riantní bud každý vrchol (a každá strana) trojúhelníku nebo jen jeden 
vrchol a protější strana, kdežto ostatní dva vrcholy (a dvě strany) se 
zaměňují, nebo konečně může zůstati bez proměny trojúhelník pouze 
jako celek, t. j. vrcholy (a strany) jeho se navzájem zaměňují. 
Kollineační grupy z druhé skupiny mohou v invariantní řadě bodové 
(a duálně v invariantním svazku paprskovém) mít i podřazenou grupu 
prostoru jednorozměrného a tedy (grupu cyklickou nebo diedrickou nebo) 
některou z obecně známých grup pravidelných těles. 
V třetí skupině musíme pak vžiti v úvahu známé kollineační grupy 
prostoru dvourozměrného: grupy řádu 36., 72. a 216., z nichž poslední 
(Hesseova) obsahuje obě první, dále grupu řádu 168. (Kleinovu) a konečně 
grupy řádu 60. a 360., z nichž druhá (Valentinerova) má první za sub- 
grupu. 3 ) 
2. Hledejme nejprve (necyklické) grupy kollineační, jež mají vrcholy 
trojúhelníku jednotlivě invariantní, a příslušné k nim sextiky. Protože 
kollineaci s invariantními třemi body lze vytvořiti jako produkt dvou 
liomologií, jichž středy leží ve dvou vrcholech tohoto trojúhelníku a osy 
v protějších stranách jeho, obdržíme žádané grupy, zvolíme-li za dotčené 
složky kollineaci dvě homologie s periodou 2 až 6. Při analytickém vy¬ 
jádření kollineaci a příslušných sextik položme souřadnicový trojúhelník 
do trojúhelníku invariantního; zmíněné homologie vytvořující ať mají 
středy v bodech (1, 0, 0) resp. (0, 1, 0) a osy v přímkách x x = 0 resp. 
%2 = 0 . 
Kombinací dvou involutorních homologií obdržíme necyklickou 
grupu nej nižšího řádu; je to G 4 , složená z kollineace identické a tří invo¬ 
lutorních homologií, jichž středy jsou ve vrcholech a osy v protějších 
stranách troj úhelníku: 
dvě z nich mají za produkt třetí. 4 ) 
Příslušná autokollineární sextika má rovnici 
a x x* a 2 x 2 + a z x z + a 4 x x 4 x 2 2 -J- a 5 x ± 2 x£ + a 6 x 2 4 x 3 2 + a 7 x 2 2 x£ + 
^8 ^3^ d - ^9 ^3^ a i0 ^2 ^3^ = d. 
3 ) Viz na př. H. F. Blichfeldt, The íinite discontinuous primitive 
groups of collineations in three variables, Math. Annalen 63. (1907), p. 555. 
4 ) Dvě involutorní homologie obsažené v konečné grupě kollineaci mohou 
mimo uvedenou polohu vzájemnou míti ještě obecnou polohu svých středů a os, 
nemohou však býti ani souosé ani soustředné, jak možno dokázati počtem (příslušná 
křivka se rozpadá) nebo poznámkou, že produkt dvou involutorních homologií se 
společnou osou nebo se společným středem je elace (t. j. homologie, jejíž střed a osa 
sou incidentní), která ovšem nemůže míti konečnou periodu. 
XLII. 
