23 
V druhém případě doplníme rovnice grupy g 12 členy f}' ok + 6l t kde 
/P 4 _ i a i — o až 3, na rovnice kollineací grupy G 48 , jejíž autokollineární 
sextika má rovnici 
b x£ x x x 2 -f d 1 (x x 6 + * 2 6 ) — 0 
(viz odst. 15.). 
Konečně také v případě prvém podaří se rovnice proj. transformací 
grupy g 12 doplnit i na rovnice kollineací rovinných tak, aby existovala 
invariantní sextika, jež není degenerovaná a připouští konečnou grupu 
těchto kollineací; stane se to tím, že k rovnicím v g 12 připojíme jako členy 
s x 3 úměrné +_u 2k x 3 , kde a 6 = 1. Dostaneme takto novou grupu řádu 24., 
kterou tedy označíme G 24 /F . 
Grupa tato obsahuje mimo identitu 9 involutorních homologií a kol- 
lineace nehomolog. 2 s periodou 3, 6 s periodou 4 a 6 s periodou 6. Je jako 
subgrupa obsažena v grupách G 72 a G 12 (a ovšem v G 216 ). Involutorní 
homologie její skládají čtyři subgrupy G 4 ; jedna z těchto subgrup (jejímž 
invariantním trojúhelníkem je trojúhelník souřadnic) a každá ze tří ostat¬ 
ních vytvořují tři subgrupy G 8 r . Homologie posledních tří G i obsaženy 
jsou v jedné subgrupě G 12 (grupy G 24 /F ), která obsahuje dvě G 6 . 
Ke grupě G 2 / v přísluší invariantní sextika 
a i x z + a 2 x z x i X 2 + { x i + ^ 2 6 ) = 0 . 
Tím vyčerpány jsou všechny grupy kollineací v rovině, jež mají 
invariantní bod i přímku a na této podřazenou grupu diedrickou. 
34. Nové grupy kollineací s invariantním bodem a přímkou, jež 
totiž nespadají do vyšetřené už skupiny grup s invariantním trojúhel¬ 
níkem, nalezneme za supposice, že na invariantní přímce existuje grupa 
pravidelného mnohostěnu. Je zřejmo, že z binárních grup pravidelných 
těles může na invariantní přímce ternární grupy s autokollineární sex- 
tikou býti pouze grupa proj. transformací tetraedrická g 12 nebo grupa 
oktaedrická g 24 . 
Grupa tetraedrická g 12 ať má vytvořující transformace 
: *<> = * 2 : x lt 
X 1 ’ X 2 — X 1 ~\~ i X 2 • X í i X * 
Přísluší k nim invariantní formy x l x 2 (* x 4 — x £), x£ -f 2 i V 3 x^ x 2 2 + x£ 
(kde V 3 může býti kladná nebo záporná); je možno tedy, že invariantní 
sextika má rovnici 
a * 3 6 + b x 3 2 (Xj* + 2 * V3 V x 2 2 
+ x 2 *) +c.x í x. 1 (xf — x 2 *) = 0. 
Poznáváme, že bod (0, 0, 1) a přímka x 3 — 0 mohou býti středem 
a osou involutorní homologie. Dále seznáme, že forma x x x 2 ( x x 4 — x£) 
reprodukuje se při prvních dvou uvedených transformacích grupy g 12 ' 
se změněným znaménkem, při třetí transformaci pak s faktorem 8i; 
forma, jež je koefficientem při x 3 2 , reprodukuje se při prvních dvou trans¬ 
formacích beze změny, při třetí s faktorem 2 (1 -f i V8). 
XLII. 
