o 
se podřazuje obecné methodě svrchu připomenuté; konstrukce křivky 
s osmi body dvojnásobnými děje se způsobem zcela odlišným, zakládajícím 
se v tom, že tato křivka je hyperelliptická. Tomuto druhému případu 
podřazují se také případy křivek s devíti a s desíti dvojnásobnými body. 
I. Křivka se sedmi body dvojnásobnými. 
A) Věty pomocné. 
1. Dva projektivní svazky křivek 
f k g = 0, F A G = 0 
vytvoří křivku o rovnici 
f G — F g = 0, 
v jejímž dvojnásobném bodu platí 
fiG -j- / Gi Fi g F gi = 0 i = 1, 2, 3. 
Aby tento vztah byl vyplněn, toho lze dosáhnouti rozmanitým 
způsobem. Uvedeme jen dvě možnosti: 
a) f = 0, g = 0, F = 0, G = 0, což má jednoduchý geometrický 
význam (v. Úvod). 
b ) / = 0, g = 0, fi -T A gi = 0, jF -f- A G = 0, ale F ^ 0, G ^ 0. 
Geometricky znamenají tyto čtyři vz;tahy: bod je dvojnásobný pro křivku 
projektivně vytvořenou, jestliže náleží k basi jen jednoho svazku, a jestliže 
křivce druhého svazku, jež tímto bodem prochází, odpovídá v prvém svazku 
křivka mající jej za dvojnásobný. 
2. Je-li známo sedm průsečíků A v . . ., A 7 dvou kubických křivek 
K 1 3 , K 2 3 , lze lineárně sestrojiti spojnici dalších dvou průsečíků A s , A 9 . 
Neboť tato spojnice prochází bodem A (l) , jenž je na AJ 3 korresiduální se 
sedmi známými A v A 7 , a bodem A (2) , jenž je na K 2 3 korresiduální 
s týmiž sedmi body. Tyto oba body lze pak lineárně sestrojiti, na př. tím 
způsobem, že body A v ..., A 5 se položí kuželosečka, body A s , A 7 přímka, 
určí se — lineárně — další dva průsečíky křivky K ± 3 s touto rozpadající 
se křivkou; jejich spojnice protne K ± 3 po třetí v hledaném bodu A (1) . 
Podobně pro A (2) . 
Rovněž lineárně lze sestrojiti kuželosečku, jež prochází třemi danými 
body B v B 2 , B 3 na jedné z obou křivek, na př. K x 3 , a obsahuje oba ne¬ 
známé průsečíky A & , A 9 . Sestrojíme známým způsobem bod Z? 4 tak, že 
bod A (1) je korresiduální se skupinou bodů B lt . . ., £> 4 . Svazek kuželoseček 
o basi B v . . ., R 4 je pak projektivní se svazkem paprsků o středu A (1) , 
při čemž elementy sobě odpovídající se protínají na křivce K x 3 . Tuto 
XLVI. 
