9 
a kuželosečku procházející body A*. Ale to není možno, ježto tato kuželo¬ 
sečka by měla s K 3 6 společných čtrnáct průsečíků. 
d) Veskrze bylo předpokládáno — třeba že mlčky — že body 1, . . ., 6 
jsou různé navzájem i od bodů Ai. Kdyby tomu tak nebylo, nastoupily 
by v předchozích úvahách modifikace podružného rázu, jež by snadno 
bylo lze udat i a jež pro stručnost opomíjíme. Tím by se nabylo konstrukcí 
pro případy, že by místo některých nebo všech jednoduchých bodů byly 
dány tečny ve dvojnásobných bodech, nebo místo dvou jednoduchých 
bodů jeden bod s tečnou. 
II. Křivka s osmi body dvojnásobnými. 
A) Věty pomocné. 
14. Budiž dáno osm bodu A v . . ., A % \ devátý bod base svazku ku¬ 
bických křivek určeného body A i označíme B 9 . Geometrické místo tečnových 
bodů příslušných bodu B 9 na křivkách tohoto svazku je racionální křivka 
čtvrtého stupně R 4 , jez má bod B 9 za trojnásobný. Tato křivka vznikne 
totiž daným svazkem a svazkem tečen v B 9 , jenž je s ním projektivní. 
Ve svazku existují tři křivky, pro něž bod B 9 je inflexní; pro ty splyne 
příslušný bod tečnový s bodem B 9 ; prochází tedy křivka R 4 tímto bodem 
skutečně třikrát. Tečny zmíněných tří křivek v bodě B 9 jsou také tečnami 
křivky R i . Tato křivka prochází všemi body A i jednoduše; v každém 
z nich dotýká se té křivky svazku, jež má tento bod za tečnový příslušný 
k bodu J5 9 . 
Křivka R 4 je úplně určena body A i} B 9 \ lze ji sestrojovati bud na 
základě její definice, nebo pohodlněji tím, že ji převedeme Cremonovou 
transformací na kuželosečku. To se stane dvěma po sobě jdoucími kva¬ 
dratickými transformacemi T v T 2 , které mají vhodně volené hlavní body 
na křivce; budeme pak k J mu užívati vždy transformací involutorních. 
15. Přiřadíme-li body racionální křivky čtvrtého stupně R 4 pro¬ 
jektivně bodům řady bodové na přímce p, obalují spojnice sdružených 
bodů křivku páté třídy, jež má p za tečnu čtyřnásobnou. Určíme 
podmínky pro to, aby tato křivka obsahovala jako součást křivku třetí třídy 
obecné se nerozpadající. Tato křivka třetí třídy nemůže mí ti p za tečnu 
jednoduchou, ježto by pak zbývající křivka druhé třídy ji měla za tečnu 
trojnásobnou, což není možno; i může přímka p býti jen dvojnásobná 
tečna křivky třetí třídy, a tedy také dvojnásobná tečna křivky druhé 
třídy; i rozpadne se tato křivka na dva svazky paprsků s vrcholy na p. 
Oba vrcholy jsou dva ze čtyř průsečíků paprsku p s křivkou R 4 a každý 
sám sobe odpovídá v projektivnosti platící mezi oběma řadami. To jsou 
hledané podmínky; je ihned zřejmo, že nejen jsou nutné, nýbrž také stačí. 
16. Na křivce čtvrtého stupně R l s trojnásobným bodem M zvolme 
tři body A, B v B 2 \ mimo ni pak další dva body C v C 2 ležící na paprsku 
XLVI. 
