10 
bodem A. Označíme [SJ svazek kuželoseček určený body M, A, B v C v 
[S 2 ] svazek kuželoseček určený body M, A, B 2 , C 2 . Oba svazky vytínají 
na R l kubické involuce. Libovolným bodem této křivky je v každém 
svazku určena jedna kuželosečka; obě kuželosečky protínají se ještě 
v jednom bodě, který obecně na R i neleží. Klademe si za úkol určití dvojice 
takových kuželoseček, jež jsou vzaty po jedné z obou svazků, aby oba jejich 
průsečíky neležící v M, A náležely křivce R l . Jinými slovy: v obou zmí¬ 
něných involucích určití trojice, jež mají dva elementy společné. Tato 
úloha má obecně čtyři řešení; avšak v našem případě tři z nich jsou předem 
známa. Neboť kuželosečka svazku [SJ určená bodem C 2 rozpadne se 
na paprsky A C x (= AC 2 ) a M B 1 \ kuželosečka svazku [S 2 ] určená bodem C 1 
rozpadne se na paprsky A C 2 (= A CJ) a M B 2 . Obě tyto kuželosečky pro¬ 
tínají R 4 v téže trojici bodové; tato trojice platí za tři dvojice a podává 
tedy tři řešení dané úlohy. I zbývá jediná dvojice skutečných kuželoseček, 
jež se protínají ve dvou bodech na R im , tyto kuželosečky určíme. Pro¬ 
vedeme involutorní transformaci 7\ (v. odst. 14.) o hlavních bodech M, 
B v B 2 \ křivka i? 4 přejde v kubickou křivku R z s dvojnásobným bodem M 
a neprocházející body B v B 2 . Svazek [5 X ] přejde ve svazek [S/] určený 
body M, A', B 1} C {; svazek [S 2 ] ve svazek [S 2 7 ] určený body M, A', B 2 , C 2 
(čárkování se vztahuje ke změně způsobené transformací 7\). Paprsek 
A Č 1 = A C 2 přejde v kuželosečku společnou oběma svazkům. Provedeme 
transformaci T 2 o hlavních bodech M, A', D, kde D j-e libovolný bod na R 3 ; 
tato křivka přejde tím v kuželosečku R 2 obsahující hlavní bod M\ svazky 
[S/], [S 2 7 ] ve svazky [S/ 7 ], [S 2 77 ] určené resp. body M, A', Bý', C"\ M, 
A', B 2 ", C 2 ". Oba svazky mají společnou kuželosečku K 2 . Protněme 
některou kuželosečku prvního svazku všemi kuželosečkami druhého; 
střed O involuce tak vzniklé leží na paprsku B 2 " C 2 '. Ježto však kuželo¬ 
sečka K 2 počítána do svazku [S 2 77 ] protne zvolenou kuželosečku ve dvojici 
£>i", C/ 7 , leží O také na paprsku B”C{', čímž je určen. Z konstrukce 
je patrno, že poloha bodu O je nezávislá na tom, kterou kuželosečku prvého 
svazku jsme zvolili; z toho tedy plyne, že sečna společná které¬ 
koliv kuželosečce prvého svazku s kteroukoliv 
kuželosečkou druhého prochází pevným bodem O. 
Určíme ve svazku [S/ 7 ] tu kuželosečku, jejíž dva průsečíky s kuželo¬ 
sečkou R 2 (mimo pevný průsečík M) leží na paprsku bodem O; shledáme, 
že je jediná. Prometneme z bodu M bod C/ 7 na R 2 do bodu E, tento bod 
z O znovu na R 2 do bodu F, konečně bod F z bodu Bý' na R 2 do bodu G/ 7 ; 
pak svazek kuželoseček o basi M, B 1 ', C/ 7 , G x " vytíná na R 2 involuci, 
jejíž střed je O, jak ihned plyne z konstrukce bodu G/ 7 . Tento svazek 
má se svazkem [S/ 7 ] společnou kuželosečku určenou body M, B", C ", 
G/ 7 , ^4 7 ; obráceně tedy kuželosečka svazku [S’i // ] určená bodem G/ 7 
protne R 2 mimo M ve třech bodech, z nichž dva, D", D 2 ", leží na paprsku 
bodem O. Kuželosečka svazku fS 2 77 ] určená bodem Dý' protne kuželo¬ 
sečku právě sestrojenou ještě v bodu D 2 ', jak plyne z hořejší věty o bodu O ; 
XLVI. 
