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Luigi Cremona 
7. Sia x il numero delle volte che la curva principale 
C r (nel piano P) corrispondente al punto principale o r 
(nel piano F) passa pel punto principale o t (nel piano JP), 
al quale corrisponda (in F ) la curva principale C/. Si 
conduca per o t una retta arbitraria T che seghi C r in al¬ 
tri r — x punti. Alla retta T corrisponda una curva d’ or¬ 
dine n composta di C' e di un’ altra curva K r n _,. La C/ 
corrisponde al solo punto o t , mentre K n __ t corrisponde 
agli altri punti di T. Ma i punti di C r corrispondono al 
punto o r ; dunque K' n _ t passa r — x volte per o r , e con¬ 
seguentemente C' passerà r — (r— x) volte per lo stesso 
punto 6 r . Ossia la curva C r passa tante volte per o, quan* 
te C/ per o r . 
8. È noto che, se un punto è multiplo secondo s per 
tutte le curve di una rete, esso sarà multiplo secondo 
3$ — 1 per la Jacobiana. Dunque il numerò totale dei rami 
delle curve principali (in P ) che passano per un punto 
principale di grado s è 3s — 1. Ne segue , in virtù del 
teorema (7), che una curva principale d’ ordine s passa 
con 3 s — 1 rami pei punti principali del suo piano. 
9. Una curva qualunque C n ' della rete nel piano P' ha r 
rami incrociati nel punto principale o' r , i quali hanno le 
rispettive tangenti tutte' distinte, se nel piano P la retta 
R che corrisponde a CJ incontra in r punti distinti la curva 
principale C r corrispondente ad o' r . Ora siccome C r ha un 
numero di punti multipli equivalente ad ^^^ 
punti doppi, la classe di questa curva (*) sarà 2 (r— 1); 
dunque in un fascio di curve della rete (in uno de’ piani 
dati) vi sono2(r—1) curve ciascuna delle quali ha, in 
un dato punto principale di grado r, due rami toccati da 
una stessa retta. 
La curva principale C r ha poi 3(r — 2) flessi e 
2(r—2)(r—3) tangenti doppie; dunque la rete (di uno 
(*) Vedi anche Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane, 
104 f. (Memorie dell’Accademia di Bologna, serie 1 a tomo 12°, 186 2). 
