Luigi Cremona 
tra cT ordine n — r, che insieme compongono la curva corri¬ 
spondente ad una retta R passante per un punto principale ù 
di grado r, hanno, oltre ai punti principali, un solo punto 
comune, il quale è quel punto della curva principale che 
corrisponde al punto di R infinitamente vicino ad o. E ne 
segue inoltre che una curva principale, considerata come 
una serie di punti, è projettiva ad un fascio di rette o, 
ciò che torna lo stesso, ad una retta punteggiata. Le curve 
principali hanno dunque la proprietà, del pari che le curve 
delle reti ne* due piani, di avere il massimo numero di 
punti multipli che possano appartenere ad una curva di 
dato ordine .(*). Così fra le curve principali, le cubiche 
avranno un punto doppio; le curve del quart 5 ordine un 
punto triplo o tre punti doppi; le curve del quint’ ordine 
un punto quadruplo, o un punto triplo e tre punti doppi, 
o sei punti doppi; ecc. 
5. Un fascio di rette nel piano P\ le quali passino per 
un punto qualsivoglia dato, contiene y r raggi diretti ai 
punti principali di grado r; quindi il fascio delle corri¬ 
spondenti curve.della rete, nel piano P, conterrà y r curve, 
ciascuna composta di una curva principale d* ordine r e di 
un altra curva d ordine n — r. Se vogliamo^ calcolare i 
punti doppi del fascio, osserviamo (**) che un punto (r^ 0 
comune a tutte le curve del fascio conta per (r— 1) (3r-+- 1) 
punti doppi : epperò tutt’ i punti principali del piano P 
equivalgono insieme a 2 (r — 1 ) (3r H- 1 )x r punti doppi. 
A questi dobbiamo aggiungere tanti punti -doppi quante 
sono le curve composte (giacché le due curve componenti 
di ciascuna curva composta hanno un punto comune oltre 
ai punti principali), cioè quanti sono i punti principali 
del piano P , ossia 2/ r . D’ altronde il numero totale dei 
punti doppi d’ un fascio di curve d’ ordine n è 3 (n _l) 2 - 
e siccome le curve della rete, avendo già ne 5 punti prin- 
Fu2ti^ n - U t r dienigm . ehe T Cw '™n> deren Coordinaten rationale 
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(**) Annali di Matematica, tona. VI, p. 156. 
