Sulla teoria de’ sistemi semplici ec. 
71 
La direzione Imn, che dee sempre verificar l’equazione 
l l sen°(yz) ! mn sen (zx) sen ( xy) cos x 
(H) H^ — m* sen ì (zx) — 2 j ni sen {xy) sen(yz) cosy 
n 2 sen*(xy) | Im sen(yz) sen(zx) cosz, 
quando divien principale dovrà di più rendere un massimo od un minimo la 
quantità S e però soddisfare a dS = 0. Le direzioni principali debbono adun¬ 
que inferirsi dall’ equazioni 
sen (yz)[ lsen{yz) — m sen {zx) cosz — n sen(xy) cosy] di 
-H sen (zx)[ m sen (zx) — n sen (xy) cosx — l sen ( yz) cos z] dm 
-+■ sen (xy) [ n sen (xy) — l sen (yz) cosy — m sen (zx) cos x]dn = 0 . 
Ora, per la teoria de’ massimi e de’ minimi, i coefficienti di di, dm, dn nelle 
due equazioni debbono essere rispettivamente proporzionali; ed il loro rappor. 
2 § 
to sarà =rapporto che è quello della somma de'termini antecedenti 
alla somma de’ conseguenti dopo aver moltiplicato sì gli uni che gli altri ter¬ 
mini rispettivamente per l, m, n. Ma nella l. a equazione i coefficienti di di, 
dm, dn sono (sugli assi Ox, Oy, Oz ) le componenti della retta 2s perpen¬ 
dicolare al piano diametrale (T), e nella 2. a equazione sono le componenti 
omologhe di una retta = H 2 , ed avente la direzione Imn conjugata a tale 
piano. Queste due rette sono adunque parallele, e però il piano (T) è un pia¬ 
no principale, e si ha sen(Tr)z= 1 ed s = S. E siccome il piano (T) incide 
nella superficie (E) una sezione conica che ha due direzioni coniugate ad an¬ 
golo retto, co§ì possiamo ritenere che nelle superficie di 2.° ordine le dire¬ 
zioni principali sono tre, conjugate tra loro ad angolo retto. 
Avendosi inoltre 
a =5 ÀaH -+• C'abm «+• B'can , 
di 
5 = J?ò 2 m -+■ A'bcn -4- C'abl, 
dm 
, dS 
a = Cc 2 n -+- B’cal H- A’bcm , 
dn 
se queste relazioni si sostituiscono nella proporzione accennata, la quale si¬ 
gnifica che la retta 2s e la direzione Imn sono entrambe perpendicolari al 
piano (T), avremo tra le quantità l, m, n, s, oltre l’equazione ( H ) le tre 
seguenti 
LI - N'm- Mn = 0, 
Mm — Ln - N'I = 0, 
Nn - M I - L'm ~ 0 , 
