III. Die Darstellung einer ganzen Zahl als Summe von 
höchstens vier Quadraten. 
Von Alexander Witting. 
Vorbemerkung. Die nachfolgende Darstellung ist ein Teil des am 
21. Oktober 1920 in der Mathematischen Sektion der Isis gehaltenen Vor¬ 
trags „Uber die Darstellung einer ganzen Zahl als Summe gleich¬ 
hoher Potenzen“, in dem eine Übersicht über das bis jetzt Bekannte 
gegeben wurde. Auf besonderen, von verschiedenen Seiten geäußerten Wunsch 
erfolgt die Veröffentlichung des folgenden Beweises, der absichtlich in voller 
Ausführlichkeit dargestellt ist, um auch denen zugänglich zu sein, die nicht 
mit der elementaren Zahlentheorie vertraut sind. 
I. Unter den Primzahlen spielt die 2 eine besondere Rolle, wir wollen 
sie daher zunächst nicht mit betrachten, sondern unter p eine ungerade 
Primzahl verstehen. Wir fassen nun irgend zwei verschiedene positive, 
ganze Zahlen x und y ins Auge und fragen, wann die Differenz ihrer 
Quadrate durchs teilbar ist; ist also m eine positive ganze Zahl, so wird 
dann die Gleichung bestehen 
1.) x 2 — y 2 = mp. 
Da aber x 2 — y 2 = (x + y) {x — y) ist, so muß p ein Faktor entweder 
von x-\-y oder von x — y sein. 
Nehmen wir jetzt an, daß x und y beide kleiner als p sind, so folgt 
notwendig, daß x + y—p ist, wir können also die beiden Zahlen x und y 
in der Form 
2 .) W'= 7 ' g X —y = ^^ L + k +1 
darstellen, d. h. aber: zwei Zahlen x und y, kleiner als p, die der Be¬ 
dingung i.J genügen, liegen symmetrisch zur Mitte in der Reihe der Zahlen 
von 1 bis p — 1 . Die Bedingung 1 .) sagt aber zugleich aus, daß die beiden 
Quadrate x 2 und y 2 bei der Division durch p denselben Rest lassen, denn 
die Differenz x 2 — y 2 soll ja durchs teilbar sein. Es folgt demnach der 
v — 1 
Satz, daß die Quadrate der Zahlen 1, 2, 3 . . .p — 1 nur -—verschiedene 
Reste bei der Division durch p ergeben, die symmetrisch angeordnet sind. 
v — 1 
Man spricht daher von den —-— quadratischen Resten modulo p. 
4 
Sei z. B. p == 13, so ergibt sich folgende Tabelle: 
Zahlen 
Quadrate 
Reste 
12 8 4 5 6 
1 4 9 16 25 36 
1 4 9 3 12 10 
7 8 9 
49 64 81 
10 12 3 
10 
100 
9 
11 
121 
4 
12 
144 
1 . 
