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Nehmen wir noch die Zahl 0 hinzu, so ergeben die Quadrate von ;x, 
wenn es die Folge der Zahlen 0, 1, 2, 3 . . p — 1 durchläuft, genau 
P —i 2. p —1— 1 
2-M —— ( mo ^* & inkongruente Zahlen — man nennt nämlich 
zwei Zahlen, die bei der Division durch p denselben Rest lassen, kon¬ 
gruent modulo 1 ^; zwei Zahlen, die nicht denselben Rest lassen, heißen 
(mod.p) inkongruent. 
II. Sei nun B irgendeine positive oder negative ganze Zahl mit 
Ausnahme der Vielfachen von p, dann überzeugt man sich leicht, daß der 
Ausdruck By 2 , wenn y die Folge 0, 1, 2 ,...p — 1 durchläuft, auch 
p j-i 
wieder genau ^ — (mod. p) inkongruente Zahlen ergibt. Addiert man 
endlich eine beliebige positive oder negative ganze Zahl (7, so wird der Aus¬ 
druck By 1 + (7, wenn y die oben erwähnte Folge von Zahlen durchläuft, 
p - i- i 
ebenso wieder — (mod. p) inkongruente Zahlen ergeben, d. h. also, 
p ~|- 1 
man erhält auch hier wieder ~verschiedene quadratische Reste (mod. py 
Sind nun diese Reste verschieden von den Resten, die x 2 heim Durch¬ 
laufen jener Zahlenfolge aufweist, oder anders ausgedrückt: Sind die 
Zahlen By 2 -\-C allen Zahlen x 2 inkongruent? Wenn das stattfände, so 
1 (mod. p) inkongruente Zahlen ; das ist 
hätte man 
aber unmöglich, denn es gibt nur p solcher Zahlen. Daher muß min¬ 
destens eine der Zahlen By 2 -\-C einer Zahl (mod. p) kongruent 
sein 2 . Es muß daher mindestens zwei Zahlen x und y geben, sodaß 
x 2 — (By 2 + C) ein Vielfaches von p wird. 
III. Wir nehmen nun 1.) B = C— — 1 und erhalten mindestens zwei 
Zahlen x und y , für welche x 2 + y 2 + 1 ein Vielfaches von p ist. 
Wir nehmen ferner 2.) B — — 1,' (7= -j- 1 und erhalten mindestens 
zwei Zahlen ^ und t, für welche ^ 2 + f 2 — 1 ein Vielfaches von p ist. 
Daraus aber ergibt sich, daß die Summe jener beiden Ausdrücke: 
x 2 -\-y 2 + z 2 -f t 2 ebenfalls ein Vielfaches von p ist 3 , d. h. es gibt immer 
vier Zahlen x , y , z, t von der Art, daß 
3.) x 2 + y 2 + z 2 -f- 1 2 = pm 
ist. Dabei brauchen allerdings diese Zahlen nicht alle voneinander ver¬ 
schieden zu sein. Wir können weiter sagen, daß die Zahlen x, y , z, t nicht 
alle durch m teilbar sind, denn dann wäre ja die Summe durch m 2 teil¬ 
bar, was unmöglich ist, da p eine Primzahl ist. 
IV. Wir nehmen jetzt vier beliebige ganze Zahlen J, y, f, dann 
besteht die Gleichung: 
4.) (x — p £) 2 + (y —p rj) 2 + (z — p £) 2 + {t —p Üf =p m'. 
1 Modulo p, also „nach dem Modul p u , wird stets (mod.p) abgekürzt. 
2 Beispiel für p = 13: 5?/ 2 -{-3 ergibt die Reste 3, 8, 10, 9, 5, 11, 1 für t/ =0, 
1, . . . 6. Man vergleiche! 
3 So istz.B. 3 2 +4 2 + l = 2-13, 2 2 + 6 2 — 1 = 3 • 13, also 2 2 +3 2 + 4 2 + 6 2 =5■ 13. 
