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Wählt man die Zahlen £, rj, £, & so, daß x — p'§ usw. ohne alle zu 
7) V 2 
verschwinden, absolut kleiner als ^ werden, dann ist pm f also 
m* <Cp. Wir können also gleich in 3.) das m<Cp voraussetzen. 
Nun nehmen wir irgend vier neue ganze Zahlen x ± , y v z v t 1 und er¬ 
halten aus 3.) die Gleichung 
5.) (x — m x ± ) 2 + (y — m yj 1 + (z — m z x ) 2 + (t — m y 2 = m m v 
Dann kann man x 19 y v z ± , t ± so wählen, daß x — mx 1 usw. ohne alle 
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zu verschwinden absolut kleiner als — werden; mithin wird mm x << 4 • ^ 
also 1 m 1 m. 
V. Man rechnet leicht aus, daß die folgende Identität besteht: 
6 .) fef + V* + + t 2 ) (£ 2 + r? + T 2 + Ü 2 ) 
== (sc £ -f- y V + ^ — y% + z &— t£) 2 
+ (xC — z£—y#+tr}) 2 -j-(x&— t.£‘+ y £ ^z-rjf 
d. h. zwei Summen von je vier Quadraten ergeben mit einander 
multipliziert abermals eine Summe von vier Quadraten. 
Multipliziert man daher die Gleichungen 3.) und 5.) mit einander, so 
erhält man: 
(x 2 + y 2 -\-z 2 + 1 2 ) [(sc— mx ± ) 2 -\-(y — m y ± ) 2 -\-(z — m z x ) 2 + (t—m tj 2 ] —p m 2 m 1 
— \x(x — mxj -f- y(y — my 1 )-\rz{z — mz^)-\-t(t—m y | 2 
+ [ # (y — m y x ) — y (x — mx^-^z (t — m y — t 'z — m zJJ 2 
+ [x(z — mz ± ) — z(x — mx ± ) — y(t — m y + t(y — m 24 ) J 2 
+ [sc (t — m y — t(x — m Xj) + yiz— m ?i) ~ z (y— m y-Sf 
= [pm — m(xx 1 -]-yy l -\-zz 1 -\-tt 1 )f + [ — m(xy 1 —yx 1 -\-zt 1 — tz 1 )J 
+ [— m (x z ± — z x x — y t x + t y x )f -f [ — m (x t x — t x ± + y z 1 — z 2 /j]' 2 - 
Diese Gleichung läßt sich aber durch m 2 dividieren und Avir erhalten 
schließlich: 
7.) \p — (xx 1 -\-yy 1 -\ r zz 1 + ttjf-\-[xy 1 — yx 1 + zt 1 — tz^ 
+ [xz 1 — zx 1 — yt 1 + ty J J + [xt 1 — tx 1 +yz 1 —ziy 1 Y = pm r 
Durch diese Umformung ist erreicht, daß aus den vier ursprünglich 
erhaltenen Zahlen sc, y, z, t, deren Quadratsumme pm ist, vier neue 
ganze Zahlen — eben die Klammerausdrücke in 7.) — gebildet werden 
können, deren Quadratsumme p m 1 ist. Da nun m 1 kleiner als m ist, so 
hat man hier ein kleineres Vielfaches von p als Quadratsumme dargestellt. 
Wenn die ganze Zahl m 1 nicht gleich 1 ist, so kann man dies Verfahren 
solange fortsetzen, bis man endlich vier Zahlen X, T, Z , 1\ erhält, deren 
Quadratsumme gleich p ist: 
8 .) x 2 + Y 2 + Z 2 +T 2 =p. 
Dabei brauchen die Zahlen nicht alle verschieden zu sein, auch 
können einige Null sein. Da nun 2 = l 2 + l 2 + 0 2 + 0 2 ist, so gilt die 
1 Beispiel: 2 2 +3 2 + 4 2 +6 2 =5• 18; ^=0, )j x . — z 1 =t 1 = 1 ergibt 2 2 + (—2) 2 
+ (-D 2 _H+l) 2 =5.2. 
