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Gleichung 8 .) auch für die bisher ausgenommene gerade Primzahl 2 und 
man erhält den Satz: 
Jede Primzahl ist als Summe von höchstens vier Quadraten 
darstellbar. 
YI. Jede Zahl läßt sich als Produkt von Primzahlen darstellen. Da 
aber nach Formel 6 .) das Produkt zweier Summen von je vier Quadraten 
wieder eine solche Summe ist, so gilt der obige Satz auch für jede zu¬ 
sammengesetzte Zahl, d. h.: 
Jede ganze Zahl ist als Summe von höchstens vier Quadraten 
darstellbar. 
VII. Beispiele: 1.) Es war 
2 2 +3 2 + 4 2 -f-6 2 =5-l3, x 1 =0 1 y 1 =z 1 — t 1 =l, 2 2 +(—2) 2 -|-(- l) 2 +l 2 ==5-2, 
also wird nach 7.) 
[13— (0 + 3 + 4 + 6 )J + (2- 0 + 4 — 6) 2 + (2 —0 — 3 + 6) 2 + (2-0 + 3 —4 ) 2 
= 0 ' 2 + 0 2 -f 5 2 + 1 2 = 2 • 13; x 2 = y 2 = 0, 
2, t 2 = 0: (13 IO ) 2 
+(o--o-)-o+2y 2 -)-(o-o-o+o) 2 +(o—o+o-oy^a 2 -^ 2 ^. 1 
2 .) p = 7 9. Man berechnet zunächst die 39 quadratischen Reste und 
findet daraus leicht folgende Gleichungen: 
2 2 + 32 2 — 1 = 13 • 79 
4 2 + 8 2 — 1 = 1-79 
5 2 + 23 2 — 1 = 7-79 
6 2 + 26 2 — 1= 9-79 
7 2 + 30 2 — 1 = 12 • 79 
11 2 + 14 2 — 1= 4-79 
15 2 -f31 2 — 1 = 15-79 
18 2 + 25 2 — 1 = 12 - 79 
27 2 + 33 2 — 1 = 23 ■ 79 
4 ' 2 + 33 2 + 1 = 14 • 79 
6‘ 2 + 11 ' 2 + 1= 2-79 
9 2 + 32‘ 2 + 1 = 14 • 79 
12 2 + 31 2 + l = 14-79 
13 2 + 15 2 + 1 = 5-79 
14 2 + 35 2 + 1 = 18 • 79 
17 2 -f 37 2 + 1 = 21 • 79 
20 2 + 28 2 + 1 = 15 • 79 
21 2 + 36 2 + 1 = 22 • 79 
23 2 + 24 2 + 1 = 14 • 79 
Nimmt man nun aus jeder der beiden Gruppen eine Gleichung, so 
erhält man als Summe eine Gleichung von der Form 3.); z. B. 
5 2 + 12 ä + 23 2 31 2 = 21 • 79. 
Hier wählt man x 1 = 0 , y l — z 1 = z 1 = t 1 — 1 und erhält nach 5.): 
5 2 -f- (- 9 ) 2 + 2 2 +10 2 =21 • 10 un d damit nach 7.): 3 2 + 6 2 +13 2 +24 2 =79 • 10. 
Jetzt nimmt man sc 2 = 0 , y 2 = z 2 = 1 , 
t t = 2 
erhält nach 5.): 
3 2 +( 4 ) 2 + 3 2 + 4 2 = 10 • 5 und nun nach 7.): 12 2 +5 2 + 15 2 + (-l) 2 =79-5. 
Wählt man = 2, y s = 1, z. 3 = 3, t s = 0. so ergibt sich zunächst 
2 2 -|- 0 2 -j- 0 2 + (— i ) 2 = 5 ■ 1; es ist also auch 2 2 + 0 2 + O ' 2 + l 2 = 5 ■ 1. 
Daraus folgen nach 7.) die beiden Darstellungen: 
2 2 + 5 2 + 5 2 + 5 2 = 79 und l 2 + 2 2 + 5 2 + 7 2 = 79. 
Durch andere Zusammenstellung erhält man noch 3 2 +3 2 -|-5 2 + 6 2 =79. 
3.) p = 31. Zunächst bildet man die Gleichungen 5 2 + 6 2 + 1 = 31 • 2 , 
8 2 + ll 2 + 1 = 31-6, 12 2 4- 14 2 + 1 =31 11; 5 2 + 10 2 — 1 = 31 • 4, 
7 2 + 12 2 — 1 = 31-7. 
1 Man kann beweisen: Jede Primzahl von der Form 4»-{-l läßt sich als Summe 
von zwei Quadraten darstellen. 
