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Bruch geben, der jenen ebenfalls gleichwertig ist. Addirt man in den 
Brüchen 20 / 200 = 10 / 100 = 2 / 20 die Zähler und die Nenner, so erhält man 
loü^T ä ö ~ 32 /g2 cp a l so wieder einen Bruch, der = 1 / 10 ist. Diese Art 
der Erweiterung von Brüchen wird in unseren Schulen nicht geübt und 
empfiehlt sich auch schon deswegen nicht, weil man dem Fehler nicht 
Vorschub leisten darf, dem man nur zu häufig begegnet, dass die Schüler 
bei der Addition von Brüchen, anstatt die Brüche auf gleiche Benennung 
zu bringen und nun hei Belassung des Nenners die Zähler zu addiren, 
Zähler und Zähler und Nenner und Nenner addiren wollen. Sie ist aber 
begründet in der Proportionslehre und wird hier durch den Satz zum 
Ausdrucke gebracht, dass die Summe der Antecedenten zu der der Con- 
sequenten in demselben Verhältniss steht, wie die Glieder eines Verhält¬ 
nisses selbst zu einander stehen. Aus der Proportion a:b = c:d lässt 
sich durch Vertauschung der inneren Glieder die Proportion a:c = b:d 
ableiten und hieraus wieder die neue Proportion a : (a + c) = b : (b + d) 
oder a : b = (a + c): (b + d) gewinnen. 
Im 3. Schema, das dem 1. am ähnlichsten gebildet ist, geben die vor¬ 
handenen Nenner nicht 320, da ja überhaupt keine Auswahl der Nenner 
von Brüchen, deren Werth 1 / 11 entspricht, als Summe 320 geben kann; 
aber die Summe der 3 Nenner 220, 88 und 11 kommt der Zahl 320 
wenigstens so nahe als möglich, sie beträgt ja 319, und sie muss dem 
Rechner genügen. (Die zwischenliegenden Nenner 110, 22 und 44 kommen 
hierbei nicht in Betracht; sie sind für den Rechner nur die Mittelglieder, 
um die brauchbaren Werthe zu erhalten.) Die zugehörigen Zähler sind 
20, 8 und 1, oder, da es kein Maass für 8 + 1, d. h. für 9 / 320 Hin gab, 
5 und 4. Statt 319stel, die der Bruch 1 / 11 verlangt, können natürlich nur 
320stel gegeben w T erden, weil eben andere Maasse nicht vorhanden sind; 
und eine Schädigung des Kaufmanns findet hierbei nicht statt. 
Das 4. Schema giebt an, wie mit den vorhandenen Hohlmaassen 1 / 7 Hin 
abgemessen werden kann. Der alte Rechenkünstler drückt zunächst das 
Verhältniss von 7 : 1 durch */ 4 : 1 / 28 aus, verdoppelt sodann, wie in den 
vorhergegangenen Schematen, wiederholt den Antecedent, erhält also 1 / 2 , 
1, 2 und 4, und thut dasselbe mit dem Consequent. Den Uebergang von 
1 / 2 : 1 / 14 zu 1: 40 32 Q ~~ gewinnt er wieder durch Addition von Zähler und 
Nenner gleichwerthiger Brüche, nämlich aus den 2 Brüchen 40 / 280 und 5 V+ 40 , 
deren Angabe man zwar vermisst, die sich aber aus dem Vorhergehenden 
nothwendigerweise ergeben. Aus 3 / 4 : 1 / 28 folgt nämlich 3 / 40 : 1 / 280 oder 
280 : 40 und aus : J / 14 a / 6 :*/ 42 oder 42 : 6. 280 + 42 würde aber nicht 
die gesuchten 320stel, sondern 322stel bringen, und so ist, weil der Nenner 
auf 40 herabgemindert werden musste, auch der Zähler um 3 / 2 vermindert 
worden, wobei der Handelsherr nicht eben zu kurz kommt. Die beiden 
folgenden Verhältnisse bedürfen keiner Erklärung. 
Im 2. Schema sind wie im 4. statt der steigenden fallende Verhältnisse 
genommen. Das erste 1 : 1 / 3 , oder kehren wir dasselbe in das steigende 
1 / 3 :1 oder 1: 3 um, ist als die hier gestellte Aufgabe zu betrachten. Es 
gilt also hier, 1 / 3 Hin durch die vorhandenen Maasse auszudrücken. Durch 
Multiplication der 3 kann der alte Rechner aber niemals auf 320 kommen, 
sondern nur auf die nahe stehenden 318 und 321. Würde er die 320 
am nächsten stehende 321 nehmen und dafür beim Verkaufe die ihm nur 
