10 
VI. Sektion für reine und angewandte Mathematik. 
Erste Sitzung am 12. Februar 1903. Vorsitzender: Prof. Dr. Ph. 
Weinmeister. — Anwesend 12 Mitglieder. 
Geh. Hofrat Prof. Dr. K. Rohn spricht über regulär verteilte Punkte 
im Raum. 
Der Vortragende stellt zunächst einige allgemeine Sätze auf und hebt u. a. hervor, 
dafs durch die Bewegungen einer aus zwei Schraubungen durch Zusammensetzung und 
Wiederholung entstehenden Bewegungsgruppe aus einem Raumpuukt eine regelmäfsige 
Punktgruppe erzeugt werden kann, sowie dafs die allgemeinste regelmäfsige Punkt¬ 
gruppe sich aus einer endlichen Anzahl von Gruppen dieser Art zusammensetzt. Im 
Anschlufs hieran wird eine einfache Konstruktion einer zu einer regelmäfsigen Punkt¬ 
gruppe gehörenden regulären Raumeinteilung gegeben. Sodann wird ein kurzer Beweis 
geführt, dafs jede Bewegungsgruppe stets Schiebungen enthält und folglich die ganze 
Punktgruppe immer aus einer endlichen Anzahl von Punktgittern zusammengesetzt 
werden kann. 
Zweite Sitzung am 16. April 1903. Vorsitzender: Prof. Dr. Ph. 
Weinmeister. — Anwesend 7 Mitglieder. 
Staatsrat Prof. M. Grübler spricht über die Kriterien der Zwang- 
läufigkeit kinematischer Ketten. 
Der Vortragende gibt in kurzen Zügen die Ableitung der Bedingungen, unter 
denen ebene kinematische Ketten zwangläufig beweglich sind, also nur einen Grad der 
Freiheit haben. Er weist zunächst für die Gelenkketten nach, dafs die Zwangläufigkeit 
unabhängig ist von den Dimensionen der Kettenglieder und lediglich die Erfüllung der 
ganzzahligen Relation 
'S (2 i — 3) m = %g — 4 
fordert. In dieser bezeichnet ni die Anzahl der i Gelenkelemente enthaltenden (Bieder 
und g die Anzahl aller Gelenke der Kette. Zählt man jedes fc-fache Gelenk, d. i. ein 
solches, durch welches k Glieder gelenkig verbunden werden, wie k — 1 zweifache Ge¬ 
lenke (Drehkörper — oder Drehpaare), und bezeichnet n die Anzahl aller Glieder der 
Kette, so läfst sich das Kriterium der Zwangläufigkeit in der einfachen Form 
2 g — 3 Ti -f- 4 = : 0 
schreiben. Dasselbe bleibt auch für die sogen. Umschlufspaarketten bestehen — d. h. 
solche, in denen auch Prismen- (Rieht- oder Schub-) Paare auftreten — falls in keiner 
geschlossenen Gliedergruppe der Kette weniger als zwei Gelenke vorhanden sind. 
Ist die letztere Bedingung nicht erfüllt, so ist die Bedingungsgleichung der 
Zwangläufigkeit 
2 g — 3n + 4 = y, 
in welcher y die Anzahl der von einander unabhängigen geschlossenen Gliedergruppen, 
in denen nur Prismenpaare die Verbindung der Glieder vermitteln, bezeichnet. 
Der Vortragende weist ferner nach, dafs die Zwangläufigkeit einer w-gliedrigen 
Umschlufspaarkette an die Bedingung geknüpft ist, dafs die Anzahl der Gelenke in jeder 
geschlossenen Gliedergruppe von 1 verschieden ist. 
Bei den reinen Prismenpaarketten wird y = n — 2, folglich die Bedingung der 
Zwangläufigkeit 
g = 2 n — 3. 
Enthält die Kette auch höhere Elementenpaare und bezeichnet h die Anzahl der 
von einander unabhängigen Hüllkurvenpaare der Kette, so ist die Bedingungsgleichung 
der Zwangläufigkeit 
h + 2# — 3n + 4 = y. 
Aus derselben folgt u. a. der Satz, dafs die Relativbewegung von n komplanen Ebenen 
durch h = 3n — 4 Hüllkurvenpaare Vollständig bestimmt ist. 
Der Vortragende zeigt dann in Kürze die Anwendungsfähigkeit der angeführten 
Relationen auf die Theorie der Mechanismen und Maschinen; ferner weist er nach, dafs 
die sogen, übergeschlossenen Ketten Spezialfälle starrer Verbindungen der Systeme sind, 
und schliefst mit einer Hindeutung auf das Kriterium der Zwangläufigkeit für die 
räumlichen Schraubenpaarketten. 
