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Lage dieser Bahnen zeigt bestimmte Symmetrieverhältnisse, und die Ge- 
sammtheit dieser Symmetrieverhältnisse bildet den Symmetrie-Charakter 
der betreffenden Krystallklasse. 
In der Ebene giebt es zweierlei Symmetrie, die directe u ( nd die 
Spiegelsymmetrie. Zwei Figuren einer Ebene lieissen direct sym¬ 
metrisch oder congruent, wenn die eine durch Verschiebung in der 
Ebene mit der andern zur Deckung gebracht werden kann.- Fällt man 
von allen Punkten einer ebenen Figur Lothe auf eine feste Gerade der 
Ebene und verlängert dieselben um sich selbst, so liegen ihre End¬ 
punkte auf einer neuen Figur, dem Spiegelbild der ersteren. Solche 
Figuren werden wir kurz als gespiegelte oder als Spiegelbilder be¬ 
zeichnen; jene feste Gerade wird die spiegelnde Gerade oder der Spiegel 
genannt. Zwei Figuren einer Ebene heissen gespiegelt symmetrisch, 
wenn die eine zu irgend einem Spiegelbilde der anderen direct symmetrisch 
oder congruent ist. Natürlich ist dann jede von ihnen zu jedem Spiegel¬ 
bilde der anderen congruent. Ganz analoge Verhältnisse finden sich auf 
einer Kugelfläche. Zwei Figuren auf einer Kugelfläche heissen, direct 
symmetrisch oder congruent, wenn die eine durch Verschieben auf 
der Kugel mit der anderen zur Deckung gebracht werden kann. Fällt 
man von allen Punkten einer sphärischen Figur Lothe auf eine feste Ebene 
durch den Kugelmittelpunkt und verlängert dieselben um sich selbst, so 
liegen ihre Endpunkte wieder auf der Kugel und bilden eine neue Figur, 
das Spiegelbild der ersteren. Wir bezeichnen sie als Spiegelbilder 
oder als gespiegelte Figuren; die feste Ebene wird die spiegelnde Ebene 
oder der Spiegel genannt. Zwei Figuren einer Kugelfläche heissen ge¬ 
spiegelt symmetrisch, wenn die eine zu irgend einem Spiegelbilde der 
anderen direct symmetrisch oder congruent ist. 
Zwei congruente Figuren auf einer Kugelfläche können stets da¬ 
durch zur Deckung gebracht werden, dass man eine von ihnen um einen 
bestimmten Kugeldurchmesser dreht. Sind nämlich AB irgend zwei Punkte 
der einen Figur und A 1 B 1 die entsprechenden der anderen, so errichte 
man in den Mittelpunkten der Sehnen AA ± und BB 1 Normalebenen, sie 
schneiden sich in dem gemeinten Kugeldurchmesser. Denn ist D ein End¬ 
punkt desselben, so sind die sphärischen Dreiecke DAB und DA 1 B 1 con¬ 
gruent; bringt man also DA ± durch Drehung um D mit DA zur Deckung, 
so decken sich auch B t und B und somit die beiden congruenten Figuren. 
Spiegelt man eine auf einer Kugelfläche liegende Figur an zwei 
Diametralebenen derselben, so erhält man zwei congruente Figuren; eine 
Drehung um die Schnittlinie beider Ebenen und um einen Winkel doppelt 
so gross als der von ihnen eingeschlossene bringt die eine dieser con¬ 
gruenten Figuren mit der andern zur Deckung. Die Richtigkeit dieses 
Satzes ist leicht einzusehen. 
Zwei gespiegelt symraetrische Figuren einer Kugelfläche können 
dadurch zur Deckung gebracht werden, dass man die eine an einer be¬ 
liebigen Diametralebene spiegelt und dann um einen bestimmten Durch¬ 
messer dreht. Dass in der That die spiegelnde Ebene beliebig gewählt 
werden kann, ergiebt sich aus dem vorhergehenden Satze. Die Combina- 
tion einer Spiegelung mit einer darauf folgenden Drehung mag kurz 
Spiegeldrehung heissen. Dann haben wir das allgemeine Resultat: 
Zwei congruente Figuren einer Kugelfläche können durch eine 
ganz bestimmte Drehung, zwei gespiegelt symmetrische Figuren 
