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durch Spiegeldrehung mit beliebig gewähltem Spiegel durch 
den Kugelmittelpunkt zur Deckung gebracht werden. 
Inverse Figuren auf einer Kugelfläche sind solche, bei denen die 
Verbindungslinien entsprechender Punkte durch den Kugelmittelpunkt gehen; 
dieser heisst das In Version s-Centrum. Inverse Figuren sind specielle 
gespiegelt symmetrische Figuren; spiegelt man die eine an einer beliebigen 
Diametralebene und dreht sie sodann um eine dazu senkrechte Axe um 
180°, so deckt sie sich mit der anderen. Offenbar kann man hier auch 
zuerst die Drehung und dann die Spiegelung vornehmen, wodurch eben¬ 
falls eine Deckung der Figuren erzielt wird. 
Zwei Figuren einer Kugelfläche, die zu der nämlichen dritten gespiegelt 
symmetrisch sind, sind unter sich congruent. Sind also F und F ± ge¬ 
spiegelt symmetrische Figuren und ist F 1 die inverse Figur zu P, so sind 
F ± und F 1 congruent und es kann F ± durch. Drehung um eine bestimmte 
Axe in die Lage F 1 gebracht werden. F 1 aber geht durch eine Drehung 
um 180° um die gleiche Axe und eine darauf folgende Spiegelung an der 
zur Axe normalen Ebene in die Lage F über. Da aber zwei Drehungen 
um die nämliche Axe durch eine einzige, deren Drehwinkel gleich der 
Summe resp. Differenz der Drehwinkel der Einzeldrehungen ist, ersetzt 
werden können, so kann F ± in die Lage F durch Drehung um eine be¬ 
stimmte Axe und darauf folgende Spiegelung an einer zu dieser Axe 
normalen Ebene gebracht werden. Offenbar erreicht man das gleiche 
Ziel, wenn man erst die Spiegelung und dann die Drehung vornimmt. 
Zwei gespiegelt symmetrische Figuren können durch eine be¬ 
stimmte Spiegeldrehung zur Deckung gebracht werden, wobei 
die Drehaxe zur Spiegelebene normal ist; es ist einerlei, ob man 
zuerst die Spiegelung oder zuerst die Drehung ausführt. 
Kehren wir nun wieder zu der aus einem Krystallstück gefertigten 
Kugel zurück. Je N gleichwertige Punkte auf ihr zeigen gewisse Sym¬ 
metrie-Eigenschaften; mit anderen Worten: je N gleichwertige Punkte 
nehmen bei gewissen Drehungen und bei gewissen Spiegeldrehungen der 
Kugelfläche wieder ihre ursprüngliche Lage ein, wobei sie sich nur unter 
einander vertauschen. Die Gesammtheit der Drehungen und Spiegeldreh¬ 
ungen, welche nur Vertauschungen der N gleichwertigen Punkte unter 
einander bewirken, bestimmen den Symmetrie -Charakter der betreffenden 
Krystallklasse. Enthält dieser Symmetrie-Charakter zwei Drehungen, zwei 
Spiegeldrehungen, oder eine Drehung und eine Spiegeldrehung, so enthält 
er auch die Drehung resp. Spiegeldrehung, die durch Zusammensetzung 
der beiden Operationen entsteht. Denn die erste Operation vertauscht 
die N gleichwertigen Punkte, die zweite vertauscht sie abermals; beide 
Operationen hintereinander angewendet, geben also eine neue Operation 
(Drehung oder Spiegeldrehung), die ebenfalls eine Vertauschung der gleich¬ 
wertigen Punkte herbeiführt. Sind P 1? P 2 , ...., P N gleichwertige Punkte, 
so wird jede zu dem Symmetrie- Charakter gehörige Drehung oder Spiegel¬ 
drehung den Punkt P a in die Lage eines gleichwertigen Punktes über¬ 
führen. Es giebt sonach iV-Operationen (Drehungen und Spiegeldrehungen), 
die den Symmetrie-Charakter ausmachen. 
Der Symmetrie-Charakter einer Krystallklasse kann ent¬ 
weder nur Drehungen aufweisen, oder Spiegeldrehungen und 
Drehungen; denn zwei hintereinander bewirkte Spiegeldrehungen ergeben 
eine einfache Drehung. Enthält der Symmetrie-Charakter eine Drehung 
