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um eine Axe a um clen a', so enthält er auch die Drehungen um die 
gleiche Axe und um die Winkel 3 . .. und die entgegen¬ 
gesetzten Drehungen. Jeden dieser Drehwinkel kann man auch noch um 
360° oder ein Vielfaches davon vergrössern oder verkleinern, es übt das 
keine Wirkung, da eine volle Umdrehung um a alle Punkte der Kugel¬ 
fläche wieder an ihre ursprüngliche Stelle zurückbringt. Man braucht 
deshalb nur Drehwinkel zu betrachten, die kleiner als 4 R oder 2 n sind. 
Einer der zur Axe a gehörigen Drehwinkel wird der kleinste sein, wir 
nennen ihn «3C dieser Winkel muss ein ganzzahliger Theil von 
2 Tt sein, also: a— -y, wo k e ine ganze Zahl ist. Wäre dieses nicht 
der Fall, so wäre etwa: k . ce <C 2 n und: (k -f- 1) a 2 n\ es gäbe 
dann auch einen Drehwinkel von der Grösse (k + 1) a — 2 n und dieser 
wäre ersichtlich kleiner als a , was der Annahme widerspricht. Die Gerade a 
heisst Symmetrieaxe des Krystalls, und zwar heisst sie eine &-zählige 
Symmetrieaxe erster Art, wenn der zugehörige kleinste Drehwinkel 
a = ^ ist. Die Beobachtung lehrt, dass es nur zwei-, drei-, vier- 
und sechszählige Symmetrieaxen giebt, wie auch aus dem durch 
Beobachtung gefundenen Gesetz der rationalen Indices hervorgeht. 
Enthält der Symmetrie - Charakter eine Spiegeldrehung, d. h. eine 
Spiegelung an einer bestimmten Ebene 23, verbunden mit einer Drehung 
um eine dazu normale Axe b um einen ^ /2, so enthält sie auch eine 
reine Drehung um die Axe b um den 2 ß. Denn führen wir die Spiegel¬ 
drehung zwei Mal hintereinander aus, und zwar bei der ersten die Spiegelung 
nach der Drehung, bei der zweiten die Drehung nach der Spiegelung, so 
heben sich die beiden Spiegelungen auf und es bleibt nur noch eine zwei¬ 
malige Drehung um die Axe b um den ^ ß übrig. Ist ^ ß der kleinste 
zur Axe b gehörige Winkel, so lässt sich aus ähnlichen Gründen wie vor¬ 
her schliessen, dass ß ein ganzzahliger Theil von 2 n sein muss. Ist 
ß = so heisst die Gerade b eine &-zählige Symmetrieaxe zweiter 
Art des Krystalls. Wiederum treten bei Krystallen nur zwei-, drei-, 
vier- und sechszählige Symmetrieaxen zweiter Art auf. Beider 
zweizähligen Symmetrieaxe zweiter Art besitzt die zugehörige 
Spiegeldrehung einen Drehwinkel von 180°, sie ist also nichts anderes als 
eine Inversion am Kugelmittelpunkt. Eine solche Inversion kann aber 
als Spiegelung an einer beliebigen Ebene, verbunden mit einer Drehung 
um 180° um die dazu normale Gerade, betrachtet werden. Demnach ist 
hier jeder Kugeldurchmesser eine zweizählige Symmetrieaxe zweiter Art. 
Man wird deshalb beim Symmetrie-Charakter die zweizähligen Symmetrieaxen 
zweiter Art gar nicht erwähnen, da jeder Durchmesser die gleiche Eigen¬ 
schaft hat, sondern nur die damit gleichbedeutende Inversion. 
Zu der sechszähligen Symmetrieaxe zweiter Art gehört auch eine 
Spiegeldrehung, bei der die Drehung 180° beträgt; sie entsteht, wenn man 
die kleinste Spiegeldrehung dreimal hintereinander anwendet. Enthält 
also der Symmetrie-Charakter eine sechszählige Symmetrieaxe zweiter 
Art, so enthält er auch die Inversion am Mittelpunkt; zugleich ist diese 
Axe eine dreizählige Symmetrieaxe erster Art. 
Enthält der Symmetrie - Charakter eine dreizählige Symmetrie¬ 
axe zweiter Art, so enthält er auch eine reine Spiegelung an der 
