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zur Axe normalen Ebene. Denn die kleinste Spiegeldrehung um diese 
Axe, dreimal hintereinander ausgeführt, ergiebt eine Spiegeldrehung mit 
einem Drehwinkel von 360°, die also mit einer reinen Spiegelung gleich¬ 
bedeutend ist. Die dreizählige Symmetrieaxe zweiter Art ist zugleich 
dreizählige Symmetrieaxe erster Art, denn eine viermalige Wieder¬ 
holung der zugehörigen Spiegeldrehung liefert eine reine Drehung um den 
Winkel ~ oder, was gleichbedeutend ist, um den Winkel 
ö O 
Bei einer vierzähligen Symmetrieaxe zweiter Art tritt weder 
eine Inversion noch eine reine Spiegelung auf; eine solche Axe ist zugleich 
zweizählige Symmetrieaxe erster Art. 
Wir können nun sofort die sämmtlichen Krystallklassen 
aufstellen, die nur eine einzige Symmetrieaxe besitzen. Neben 
einer solchen &-zähligen Symmetrieaxe können dann nur noch folgende 
Symmetrie-Elemente auftreten: entweder die spiegelnde oder Symmetrie- 
Ebene normal zur Axe, oder k spiegelnde oder Symmetrie-Ebenen durch 
die Axe, oder die Inversion. Denn durch Spiegelung an einer anders 
liegenden Ebene würde sich aus der ursprünglichen Symmetrieaxe eine 
neue Symmetrieaxe ergeben. Dass es stets k Symmetrie-Ebenen durch 
die Axe giebt, falls überhaupt solche Ebenen existiren, liegt auf der 
Hand. Neben den Symmetrie-Ebenen durch die Symmetrieaxe kann es 
aber keine Symmetrie-Ebene senkrecht zur Axe und ebenso wenig eine 
Inversion geben. Denn im ersten Falle würde die Schnittlinie zweier 
Symmetrie-Ebenen eine zweizählige Symmetrieaxe sein, im letzten Falle 
würde die Normale zu einer Symmetrie-Ebene eine zweizählige Symmetrie¬ 
axe sein. Treten die Inversion und die Symmetrie-Ebene normal zur Axe 
gleichzeitig auf, so muss es um diese Axe eine Drehung von 180° geben, 
wie aus der Combination beider folgt. Bei einer zwei-, vier- oder sechs- 
zähligen Symmetrieaxe erster Art, sowie bei der vierzähligen Symmetrie¬ 
axe zweiter Art treten also stets die Inversion und die Symmetrie-Ebene 
normal zur Axe gleichzeitig auf; denn in» allen diesen Fällen giebt es um 
die Axe eine Drehung von 180°. Bei der sechszähligen Symmetrieaxe 
zweiter Art existirt, wie wir sahen, stets eine Inversion; tritt hier noch 
eine Symmetrie-Ebene normal zur Axe auf, so wird die Axe zugleich zur 
sechszähligen Symmetrieaxe erster Art. 
Um die Symmetrie-Elemente für die einzelnen Krystallklassen bequem 
aufzählen zu können, führen wir die folgenden Bezeichnungen ein. Die 
auftretende Inversion charakterisiren wir durch das Inversions- oder Sym¬ 
metrie-Centrum C , die spiegelnde Ebene normal zur Symmetrieaxe be¬ 
zeichnen wir mit u, die spiegelnde Ebene durch dieselbe mit r. Die 
/c-zählige Symmetrieaxe erster Art schreiben wir ak, wenn ihre Endpunkte 
gleichwertig sind, und ( ak ), wenn dieses nicht der Fall ist. Wenn also 
eine der vorhandenen Symmetrie-Eigenschaften die Endpunkte der Axe 
vertauscht, so ist a-k, wenn dieses nicht der Fall ist, aber (ak) zu schreiben. 
Die /t'-zähligen Symmetrieaxen zweiter Art nennen wir bk] die beiden End¬ 
punkte einer solchen sind stets gleichwertig. Die Zahl N giebt die An¬ 
zahl der gleichwertigen Punkte an. Symmetrie-Ebenen, die in Folge der 
vorhandenen Symmetrie-Eigenschaften in einander übergeführt werden 
können, fassen wir unter ein Zeichen zusammen und setzen die bezügliche 
Zahl davor. 
