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Krystallklassen ohne Symmetrieaxe. 
1. A, asymmetrisch (ohne Symmetrie-Elemente), N = 1. 
2. S, eine Spiegelebene a , N = 2. 
3. J, ein Inversions-Centrum C, N = 2. 
Krystallklassen mit einer Symmetrieaxe (cyklischer Typus). 
4. C 2 , Axe (a 2 ), N = 2. 
5. C/, Axe a 2 , Ebene u, Centrum C, N = 4. 
6. C/, Axe (a 2 ), Ebenen N = 4. 
7. C 3 , Axe (a 3 ), N == 3. 
8. C/, Axe a 3 , Ebene u, N = 6. 
9. C^, Axe (a 3 ), Ebenen 3r, N — 6. 
10. C 4 , Axe (a 4 ), N = 4. 
11. C 4 ff , Axe a 4 , Ebene oy Centrum C, N = 8. 
12. C 4 r , Axe (a 4 ), Ebenen 2/;, 2V,. N = 8. 
13. C 4 ', Axe b 4 = a 2 , N =4. 
14. C 6 , Axe (a 6 ), N I 6. 
15. C c ff , Axe a 6 , Ebene u, Centrum C, N = 12. 
16. C 6 r , Axe (a 6 ), Ebenen 3r, 3r', N = 12. 
17. C 6 ', Axe b G = a 3 , Centrum C, N == 6. 
Die Figuren 2 —17 der beigefügten Tafel zeigen die Lage von je 
N gleichwertigen Punkten. Die Kugel ist auf die zur Symmetrieaxe nor¬ 
male Diametralebene projicirt, und zwar durch orthogonale Projection, 
die Axe projicirt sich also als Mittelpunkt des Kugelumrisses. Die Punkte 
sind, je nachdem sie auf der sichtbaren oder unsichtbaren Hälfte der 
Kugeltläcbe liegen, durch Punkte oder kleine Kreise dargestellt. Liegen 
zwei Punkte senkrecht übereinander, so sind sie durch einen Punkt und 
einen ihn umschliessenden kleinen Kreis wiedergegeben. Das Inversions- 
Centrum ist durch einen kleinen Kreis um den Kugelmittelpunkt markirt. 
Die Symmetrie-Ebenen z schneiden die Kugel in Kreisen, die sich als 
Kreisdurchmesser projiciren (sie sind gestrichelt); die Symmetrie-Ebene a 
schneidet die Kugel in dem Umrisskreis (er ist in diesem Falle ebenfalls 
gestrichelt). 
Wir gehen jetzt zu den Krystallklassen mit mehreren Sym¬ 
metrie axen über. Seien a und b irgend zwei Symmetrieaxen erster 
Art, und seien A und B je einer der beiden Durchstosspunkte dieser Axen 
mit der Kugelfläche (Fig. I). Wir nehmen an, dass der Kreisbogen AB 
von keiner weiteren Symmetrieaxe getroffen wird. Es ist dieses der 
Fall, wenn von allen Symmetrieaxen, die in der Ebene durch die beiden 
Axen a und b liegen, gerade die Axen a und b den kleinsten Winkel ein- 
schliessen, was ja durch die Wahl dieser Axen stets erreicht werden kann. 
Wir wollen ferner die zu den Axen a und b gehörigen kleinsten Dreh¬ 
winkel mit a resp. ß bezeichnen. Nun zeichnen wir auf der Kugel die beiden 
sphärischen Dreiecke ABC und AB welche die gemeinsame Seite 
AB und bei A gleiche Winkel von der Grösse ~ und bei B gleiche Winkel 
von der Grosse -- besitzen (C und C ± liegen zu AB symmetrisch). Dann 
sind OC und 0 C\ eb enfalls Sy mm etrieaxen und der zugehörige 
kleinste Drehwinkel y ist doppelt so gross als ACB = <£ A C ± B. 
